Discutir os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.3 x+y+m z & =0 x+m y+z & =0 m x+y+z & =0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse sistema de equações que você trouxe. A gente tem três equações com três incógnitas (x, y e z) e um parâmetro “m” que pode mudar o comportamento do sistema. O objetivo aqui é descobrir para quais valores de “m” o sistema tem uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar esse sistema de equações de uma forma mais organizada, usando matrizes. O sistema é:
x + y + m z = 0 x + m y + z = 0 m x + y + z = 0
Podemos escrever isso na forma matricial A = 1 & 1 & m 1 & m & 1 m & 1 & 1 , x = x y z , 0 = 0 0 0 , onde:

Passo 3

Agora, para descobrir quando o sistema tem soluções não triviais (além da solução trivial det(A) = 1 cdot (m cdot 1 - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 1 - m cdot 1) + m cdot (1 cdot 1 - m cdot m) ), precisamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 cdot (m - 1) - 1 cdot (1 - m) + m cdot (1 - m^2) . Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas solu��ões ou nenhuma, dependendo se as equações são dependentes ou não.
Vamos calcular o determinante de = (m - 1) - (1 - m) + m(1 - m^2) :
= m - 1 - 1 + m + m - m^3
Simplificando:
= 3m - 2 - m^3
det(A) = -m^3 + 3m - 2
Então, temos:

Passo 4

Para encontrar os valores de -m^3 + 3m - 2 = 0 que anulam o determinante, resolvemos a equação:
m^3 - 3m + 2 = 0
Multiplicando por -1 para simplificar:
1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando m^3 - 3m + 2 = (m - 1)(m^2 + m - 2) = (m - 1)(m + 2)(m - 1) :
Então, é uma raiz. Fazendo a divisão polinomial ou fatorando, temos:
Portanto, as raízes são (com multiplicidade 2) e .

Passo 5

Agora, analisamos os casos:
  1. Quando x + y + z = 0 x + y + z = 0 x + y + z = 0 : Isso acontece para valores de x + y -2z = 0 x -2y + z = 0 -2x + y + z = 0 diferentes de 1 e -2. Nesse caso, o sistema tem uma única solução trivial .
  2. Quando : Isso ocorre para e . Precisamos verificar se o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma solução não trivial.
    • Para :
      Substituindo no sistema:
      Todas as equações são iguais, o que significa que temos uma equação redundante. Portanto, temos infinitas soluções, pois uma das variáveis pode ser livre.
    • Para :
      Substituindo no sistema:
      Resolvendo o sistema, percebemos que todas as equações são consistentes e dependentes, o que também resulta em infinitas soluções.

Resposta

Para e , o sistema possui uma única solução trivial . Para e , o sistema apresenta infinitas soluções.

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Discutir os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.2 x+y-z & =1 3 x+y-z & =1 x-2 y+2 z & =m
Resolver os sistemas de equações lineares
1 1 1 w1 & =5 2 w1+w2 & =9 -w1+w2+w3 & =4 2 w1+3 w2-2 w3+w4 & =-7
Encontre as coordenadas do ponto P com relação ao sistema de coordenadas S, nos seguintes casos:
(a) S=O,(1raiz2,-1raiz2),(1raiz2, 1raiz2) e P=(1,3).
(b) S=O,(1raiz2,-1raiz2, 0),(0,0,1),(1raiz2, 1raiz2, 0) e P=(2,-1,2).
Identifique as cônicas:
(a) 3 x^2-8 x y-12 y^2+81=0;
(b) 2 x^2-4 x y-y^2=-24;