Discutir os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse sistema de equações que você trouxe. A gente tem três equações com três incógnitas (x, y e z) e um parâmetro “m” que pode mudar o comportamento do sistema. O objetivo aqui é descobrir para quais valores de “m” o sistema tem uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar esse sistema de equações de uma forma mais organizada, usando matrizes. O sistema é:
x + y + m z = 0 x + m y + z = 0 m x + y + z = 0
Podemos escrever isso na forma matricial A = 1 & 1 & m 1 & m & 1 m & 1 & 1 , x = x y z , 0 = 0 0 0 , onde:
Passo 3
Agora, para descobrir quando o sistema tem soluções não triviais (além da solução trivial det(A) = 1 cdot (m cdot 1 - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 1 - m cdot 1) + m cdot (1 cdot 1 - m cdot m) ), precisamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 cdot (m - 1) - 1 cdot (1 - m) + m cdot (1 - m^2) . Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas solu��ões ou nenhuma, dependendo se as equações são dependentes ou não.
Vamos calcular o determinante de = (m - 1) - (1 - m) + m(1 - m^2) :
= m - 1 - 1 + m + m - m^3
Simplificando:
= 3m - 2 - m^3
det(A) = -m^3 + 3m - 2
Então, temos:
Passo 4
Para encontrar os valores de -m^3 + 3m - 2 = 0 que anulam o determinante, resolvemos a equação:
m^3 - 3m + 2 = 0
Multiplicando por -1 para simplificar:
1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando m^3 - 3m + 2 = (m - 1)(m^2 + m - 2) = (m - 1)(m + 2)(m - 1) :
Então, é uma raiz. Fazendo a divisão polinomial ou fatorando, temos:
Portanto, as raízes são (com multiplicidade 2) e .
Passo 5
Agora, analisamos os casos:
Quando x + y + z = 0 x + y + z = 0 x + y + z = 0 : Isso acontece para valores de x + y -2z = 0 x -2y + z = 0 -2x + y + z = 0 diferentes de 1 e -2. Nesse caso, o sistema tem uma única solução trivial .
Quando : Isso ocorre para e . Precisamos verificar se o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma solução não trivial.
Para :
Substituindo no sistema:
Todas as equações são iguais, o que significa que temos uma equação redundante. Portanto, temos infinitas soluções, pois uma das variáveis pode ser livre.
Para :
Substituindo no sistema:
Resolvendo o sistema, percebemos que todas as equações são consistentes e dependentes, o que também resulta em infinitas soluções.
Resposta
Para e , o sistema possui uma única solução trivial . Para e , o sistema apresenta infinitas soluções.