Discutir, em termos dos valores de
, as cônicas de equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma cônica:
. O que a gente precisa fazer é descobrir que tipo de cônica essa equação representa (como elipse, parábola ou hipérbole) para diferentes valores de
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, principalmente o discriminante das cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da cônica, que é
. Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular o discriminante (
) que nos ajuda a determinar o tipo de cônica. A fórmula do discriminante é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
Com o discriminante calculado, podemos analisar os diferentes casos:
- Se
: A cônica é uma hipérbole. - Se
: A cônica é uma parábola. - Se
: A cônica é uma elipse. Se além disso e , então é um círculo.
Passo 5
Vamos verificar para quais valores de
cada caso ocorre:
-
Hipérbole:
Dividindo os dois lados por 4:
Então:
Ou seja: -
Parábola:
Resolvendo:
Logo: -
Elipse:
Dividindo por 4:
Então:
Ou seja:ou
Resposta
Dependendo do valor de
, a equação
representa:
- Hipérbole para
; - Parábola quando
; - Elipse para
ou .