Discutir, em termos dos valores de lambda, as cônicas de equação: lambda x^2-2 x y+lambda y^2-2 x+2 y+3=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma cônica: lambda x^2 - 2xy + lambda y^2 - 2x + 2y + 3 = 0. O que a gente precisa fazer é descobrir que tipo de cônica essa equação representa (como elipse, parábola ou hipérbole) para diferentes valores de lambda. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, principalmente o discriminante das cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da cônica, que é Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0. Comparando com a nossa equação:
  • A = lambda
  • B = -2
  • C = lambda
  • D = -2
  • E = 2
  • F = 3

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante ( De) que nos ajuda a determinar o tipo de cônica. A fórmula do discriminante é:
De
Substituindo os valores que encontramos:
De

Passo 4

Com o discriminante calculado, podemos analisar os diferentes casos:
  • Se De 0: A cônica é uma hipérbole.
  • Se De: A cônica é uma parábola.
  • Se De: A cônica é uma elipse. Se além disso A = C e B = 0, então é um círculo.

Passo 5

Vamos verificar para quais valores de lambda cada caso ocorre:
  1. Hipérbole: 4 - 4lambda^2 > 0
    Dividindo os dois lados por 4: 1 - lambda^2 > 0
    Então: lambda^2 < 1
    Ou seja: -1 < lambda < 1
  2. Parábola: 4 - 4lambda^2 = 0
    Resolvendo: 4lambda^2 = 4
    lambda^2 = 1
    Logo: lambda = pm1
  3. Elipse: 4 - 4lambda^2 < 0
    Dividindo por 4: 1 - lambda^2 < 0
    Então: lambda^2 > 1
    Ou seja: lambda < -1 ou lambda > 1

Resposta

Dependendo do valor de lambda, a equação lambda x^2 - 2xy + lambda y^2 - 2x + 2y + 3 = 0 representa:
  • Hipérbole para -1 < lambda < 1;
  • Parábola quando lambda = pm1;
  • Elipse para lambda < -1 ou lambda > 1.

Exercícios relacionados