Encontre números e para os quais a matriz
é ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e que fazem com que a matriz
seja ortogonal. Isso significa que a matriz deve satisfazer a condição de que sua transposta seja igual à sua inversa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, como transposta e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz transposta. Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas. Então, a transposta da nossa matriz original é:

Passo 3

Agora, para que a matriz seja ortogonal, precisamos que , onde é a matriz identidade:
Vamos multiplicar pela matriz original :

Passo 4

Realizando a multiplicação das matrizes:
Simplificando:

Passo 5

Para que , cada elemento correspondente deve ser igual:
Vamos resolver essas equações uma por uma.

Passo 6

Primeira equação:

Passo 7

Segunda equação:
Como já sabemos que , a equação é satisfeita independentemente do valor de .

Passo 8

Terceira equação:

Resposta

Os valores que tornam a matriz ortogonal são e ou .

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