Encontre números x e y para os quais a matriz
[cc x & y -1 & 0 ]
é ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de x & y -1 & 0 e que fazem com que a matriz
seja ortogonal. Isso significa que a matriz deve satisfazer a condição de que sua transposta seja igual à sua inversa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, como transposta e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz transposta. Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas. Então, a transposta da nossa matriz original é:
A^T = x & -1 y & 0

Passo 3

Agora, para que a matriz seja ortogonal, precisamos que I = 1 & 0 0 & 1 , onde A^T times A = x & -1 y & 0 x & y -1 & 0 é a matriz identidade:
Vamos multiplicar pela matriz original :

Passo 4

Realizando a multiplicação das matrizes:
A^T times A = x times x + (-1) times (-1) & x times y + (-1) times 0 y times x + 0 times (-1) & y times y + 0 times 0
Simplificando:
A^T times A = x^2 + 1 & xy xy & y^2

Passo 5

Para que x^2 + 1 = 1 xy = 0 y^2 = 1 , cada elemento correspondente deve ser igual:
Vamos resolver essas equações uma por uma.

Passo 6

Primeira equação: x^2 = 0 Rightarrow x = 0

Passo 7

Segunda equação:
Como já sabemos que , a equação é satisfeita independentemente do valor de .

Passo 8

Terceira equação: y = pm 1

Resposta

Os valores que tornam a matriz ortogonal são e ou .

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