Discutir, em termos dos valores de
, as cônicas de equação:
Passo 1
Beleza, vamos analisar a equação das cônicas que a gente tem aqui:
. O conteúdo principal que vamos usar para resolver isso é o estudo das cônicas no plano cartesiano, especialmente olhando para os tipos de cônicas (elipse, hipérbole, parábola) dependendo dos valores dos coeficientes. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e usar o discriminante das cônicas para determinar o tipo de cônica para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação em uma forma mais padrão. A equação dada é
. Vamos mover o 4 para o outro lado para facilitar a análise:
Passo 3
Agora, vamos identificar os coeficientes da equação geral das cônicas, que é da forma
. Comparando com a nossa equação:
-
-
-
-
-
(não tem termo em ) -
Passo 4
Para determinar o tipo de cônica, usamos o discriminante, que é dado por
. Dependendo do valor de
, a cônica pode ser:
- Elipse, se
- Hipérbole, se
- Parábola, se
Vamos calcular o discriminante com os valores que temos:
Passo 5
Agora, vamos analisar as diferentes situações baseadas no valor de
:
-
Se
: Nesse caso,, então a cônica é uma elipse. -
Se
: Aqui,, então a cônica é uma hipérbole. -
Se
: Neste caso,, então a cônica é uma parábola.
Resposta
Dependendo do valor de
, a equação
representa:
- Elipse, se
. - Hipérbole, se
. - Parábola, se
.