Discutir, em termos dos valores de lambda, as cônicas de equação: x^2-2 x y+lambda y^2+2 x=4

Passo 1

Beleza, vamos analisar a equação das cônicas que a gente tem aqui: . O conteúdo principal que vamos usar para resolver isso é o estudo das cônicas no plano cartesiano, especialmente olhando para os tipos de cônicas (elipse, hipérbole, parábola) dependendo dos valores dos coeficientes. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e usar o discriminante das cônicas para determinar o tipo de cônica para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação em uma forma mais padrão. A equação dada é x^2 - 2xy + lambda y^2 + 2x - 4 = 0. Vamos mover o 4 para o outro lado para facilitar a análise:

Passo 3

Agora, vamos identificar os coeficientes da equação geral das cônicas, que é da forma . Comparando com a nossa equação:
  • (não tem termo em )

Passo 4

Para determinar o tipo de cônica, usamos o discriminante, que é dado por De. Dependendo do valor de , a cônica pode ser:
  • Elipse, se
  • Hipérbole, se
  • Parábola, se
Vamos calcular o discriminante com os valores que temos:

Passo 5

Agora, vamos analisar as diferentes situações baseadas no valor de 4 - 4lambda < 0 implies lambda > 1:
  1. Se 4 - 4lambda > 0 implies lambda < 1:
    4 - 4lambda = 0 implies lambda = 1
    Nesse caso, , então a cônica é uma elipse.
  2. Se :
    Aqui, , então a cônica é uma hipérbole.
  3. Se :
    Neste caso, , então a cônica é uma parábola.

Resposta

Dependendo do valor de , a equação representa:
  • Elipse, se .
  • Hipérbole, se .
  • Parábola, se .

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