Identifique as seguintes superfícies de segundo grau: x^2+y^2+z^2+2 x z=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificarmos uma superfície de segundo grau dada pela equação . Estamos trabalhando com superfícies quadráticas, que são formas geométricas definidas por equações de segundo grau em três variáveis. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a equação e reconhecer o tipo de superfície que ela representa.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação para facilitar a identificação da superfície. Olha só a equação:
x^2 + y^2 + z^2 + 2xz = 1
Percebe que temos termos x^2 + 2xz + z^2 = (x + z)^2 , (x + z)^2 + y^2 = 1 e um termo misto . Isso sugere que podemos completar o quadrado para combinar e . Vamos focar nos termos que envolvem e :
Então, substituindo de volta na equação original:

Passo 3

Agora, a equação ficou mais simples:
(x + z)^2 + y^2 = 1
Essa forma nos lembra a equação de um cilindro circular, que tem a forma geral:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
onde é o centro da base do cilindro e é o raio. No nosso caso, a variável não está presente na equação final, o que indica que o cilindro se estende ao longo do eixo . Porém, como temos , isso significa que o cilindro está inclinado em relação aos eixos coordenados.

Passo 4

Portanto, a equação representa um cilindro circular com eixo inclinado. O termo mostra que o cilindro não está alinhado com os eixos tradicionais, mas sim em uma direção onde e estão relacionados.

Resposta

A superfície de segundo grau dada pela equação é um cilindro circular inclinado em relação aos eixos coordenados.

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