Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:
[llll3 & 0 & 0 & 0 4 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado pede para encontrar os autovalores e os autoespaços de uma matriz específica. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais precisamente no estudo de autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e resolver a equação característica para achar os autovalores. Depois, para cada autovalor encontrado, vamos determinar os vetores que satisfazem a equação , onde é a matriz dada, é o autovalor e é a matriz identidade. Esses vetores são os autoespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz A = 3 & 0 & 0 & 0 4 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 2 :
Observando a matriz, vemos que ela é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros.

Passo 3

Uma propriedade legal das matrizes triangulares é que os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, extraindo os elementos da diagonal:
Autovalores: lambda1 = 3, lambda2 = 1, lambda3 = 2, lambda4 = 2
Note que o número 2 aparece duas vezes, o que significa que ele tem multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autoespaços correspondentes a cada autovalor. Para cada A - 3I = 3-3 & 0 & 0 & 0 4 & 1-3 & 0 & 0 0 & 0 & 2-3 & 1 0 & 0 & 0 & 2-3 = 0 & 0 & 0 & 0 4 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & -1 , precisamos resolver .
Comecemos com :

Passo 5

Vamos resolver v1 v2 v3 v4 . Chamando 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 + 0 cdot v4 = 0 4v1 - 2v2 + 0 cdot v3 + 0 cdot v4 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 - v3 + v4 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 - v4 = 0 , temos:
v1 2v1 0 0
A última equação nos dá 1 2 0 0 .
Substituindo na terceira equação: .
Na segunda equação: .
Portanto, os vetores são da forma .

Passo 6

Então, o autoespço para 1 2 0 0 é o conjunto de todos os múltiplos do vetor A - 1I = 3-1 & 0 & 0 & 0 4 & 1-1 & 0 & 0 0 & 0 & 2-1 & 1 0 & 0 & 0 & 2-1 = 2 & 0 & 0 & 0 4 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 .
Vamos repetir o processo para os outros autovalores.
Para :

Passo 7

Resolvendo 2v1 = 0 4v1 = 0 v3 + v4 = 0 v4 = 0 :
0 v2 0 0
Da segunda equação, 0 1 0 0 .
Da quarta equação, .
Substituindo na terceira equação: .
Agora, é livre, ou seja, pode ser qualquer valor.
Portanto, os vetores são da forma .

Passo 8

Então, o autoespço para 0 1 0 0 é o conjunto de todos os múltiplos do vetor A - 2I = 3-2 & 0 & 0 & 0 4 & 1-2 & 0 & 0 0 & 0 & 2-2 & 1 0 & 0 & 0 & 2-2 = 1 & 0 & 0 & 0 4 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 .
Agora, para (lembrando que tem multiplicidade 2):

Passo 9

Resolvendo v1 = 0 4v1 - v2 = 0 v4 = 0 0 = 0 :
0 0 v3 0
Da primeira equação, 0 0 1 0 .
Da segunda equação, substituindo : .
Da terceira equação, .
Agora, é livre, podendo ser qualquer valor.
Portanto, os vetores são da forma .

Passo 10

Como 0 0 1 0 tem multiplicidade 2, precisamos verificar se há mais vetores independentes. Observamos que o autoespço é gerado apenas pelo vetor , ou seja, a dimensão do autoespaço é 1, menor que a multiplicidade algébrica. Isso indica que a matriz não é diagonalizável.

Resposta

Os autovalores da matriz são k 1 2 0 0 , g| , k in R , k 0 1 0 0 , g| , k in R e k 0 0 1 0 , g| , k in R (com multiplicidade 2). Os autoespaços correspondentes são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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