Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado pede para encontrar os autovalores e os autoespaços de uma matriz específica. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais precisamente no estudo de autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e resolver a equação característica para achar os autovalores. Depois, para cada autovalor encontrado, vamos determinar os vetores que satisfazem a equação , onde é a matriz dada, é o autovalor e é a matriz identidade. Esses vetores são os autoespaços.
Observando a matriz, vemos que ela é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros.
Passo 3
Uma propriedade legal das matrizes triangulares é que os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, extraindo os elementos da diagonal:
Então, o autoespço para 1 2 0 0 é o conjunto de todos os múltiplos do vetor A - 1I = 3-1 & 0 & 0 & 0 4 & 1-1 & 0 & 0 0 & 0 & 2-1 & 1 0 & 0 & 0 & 2-1 = 2 & 0 & 0 & 0 4 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 .
Vamos repetir o processo para os outros autovalores.
Para :
Passo 7
Resolvendo 2v1 = 0 4v1 = 0 v3 + v4 = 0 v4 = 0 :
0 v2 0 0
Da segunda equação, 0 1 0 0 → .
Da quarta equação, .
Substituindo na terceira equação: .
Agora, é livre, ou seja, pode ser qualquer valor.
Portanto, os vetores são da forma .
Passo 8
Então, o autoespço para 0 1 0 0 é o conjunto de todos os múltiplos do vetor A - 2I = 3-2 & 0 & 0 & 0 4 & 1-2 & 0 & 0 0 & 0 & 2-2 & 1 0 & 0 & 0 & 2-2 = 1 & 0 & 0 & 0 4 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 .
Agora, para (lembrando que tem multiplicidade 2):
Passo 9
Resolvendo v1 = 0 4v1 - v2 = 0 v4 = 0 0 = 0 :
0 0 v3 0
Da primeira equação, 0 0 1 0 .
Da segunda equação, substituindo : → .
Da terceira equação, .
Agora, é livre, podendo ser qualquer valor.
Portanto, os vetores são da forma .
Passo 10
Como 0 0 1 0 tem multiplicidade 2, precisamos verificar se há mais vetores independentes. Observamos que o autoespço é gerado apenas pelo vetor , ou seja, a dimensão do autoespaço é 1, menor que a multiplicidade algébrica. Isso indica que a matriz não é diagonalizável.
Resposta
Os autovalores da matriz são k 1 2 0 0 , g| , k in R , k 0 1 0 0 , g| , k in R e k 0 0 1 0 , g| , k in R (com multiplicidade 2). Os autoespaços correspondentes são: