Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado pede para encontrar os autovalores e os autoespaços de uma matriz específica. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais precisamente no estudo de autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e resolver a equação característica para achar os autovalores. Depois, para cada autovalor encontrado, vamos determinar os vetores que satisfazem a equação , onde é a matriz dada, é o autovalor e é a matriz identidade. Esses vetores são os autoespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz :
Observando a matriz, vemos que ela é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros.

Passo 3

Uma propriedade legal das matrizes triangulares é que os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, extraindo os elementos da diagonal:
Note que o número 2 aparece duas vezes, o que significa que ele tem multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autoespaços correspondentes a cada autovalor. Para cada , precisamos resolver .
Comecemos com :

Passo 5

Vamos resolver . Chamando , temos:
A última equação nos dá .
Substituindo na terceira equação: .
Na segunda equação: .
Portanto, os vetores são da forma .

Passo 6

Então, o autoespço para é o conjunto de todos os múltiplos do vetor .
Vamos repetir o processo para os outros autovalores.
Para :

Passo 7

Resolvendo :
Da segunda equação, .
Da quarta equação, .
Substituindo na terceira equação: .
Agora, é livre, ou seja, pode ser qualquer valor.
Portanto, os vetores são da forma .

Passo 8

Então, o autoespço para é o conjunto de todos os múltiplos do vetor .
Agora, para (lembrando que tem multiplicidade 2):

Passo 9

Resolvendo :
Da primeira equação, .
Da segunda equação, substituindo : .
Da terceira equação, .
Agora, é livre, podendo ser qualquer valor.
Portanto, os vetores são da forma .

Passo 10

Como tem multiplicidade 2, precisamos verificar se há mais vetores independentes. Observamos que o autoespço é gerado apenas pelo vetor , ou seja, a dimensão do autoespaço é 1, menor que a multiplicidade algébrica. Isso indica que a matriz não é diagonalizável.

Resposta

Os autovalores da matriz são , e (com multiplicidade 2). Os autoespaços correspondentes são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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