The distribution of stress in an aluminum machine component is given (in megapascals) by
ll sigmax=y+2 z^2, & taux y=3 z^2 sigmay=x+z, & tauy z=x^2 sigmaz=3 x+y, & taux z=2 y^2
Calculate the state of strain of a point positioned at (1, 2, 4). Usc E=70 GPa and v=0.3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão apresenta uma distribuição de tensões em um componente de alumínio, dadas por algumas equações para σₓ, σᵧ, σ_z e os esforços cortantes τₓᵧ, τᵧ_z, τₓ_z. Nosso objetivo é calcular o estado de deformação (strain) em um ponto específico com coordenadas (1, 2, 4). Para isso, vamos usar o módulo de elasticidade E = 70 GPa e o coeficiente de Poisson v = 0,3. Vamos precisar aplicar as relações da teoria da elasticidade para encontrar as deformações correspondentes às tensões fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os valores das tensões no ponto (x, y, z) = (1, 2, 4) substituindo esses valores nas equações fornecidas:
sigmax &= y + 2 z^2 = 2 + 2 times 4^2 = 2 + 2 times 16 = 2 + 32 = 34 MPa sigmay &= x + z = 1 + 4 = 5 MPa sigmaz &= 3 x + y = 3 times 1 + 2 = 3 + 2 = 5 MPa tauxy &= 3 z^2 = 3 times 4^2 = 3 times 16 = 48 MPa tauyz &= x^2 = 1^2 = 1 MPa tauxz &= 2 y^2 = 2 times 2^2 = 2 times 4 = 8 MPa

Passo 3

Agora, vamos lembrar das fórmulas que relacionam as tensões com as deformações para um material isotrópico e elástico:
epsilonx &= 1E ( sigmax - v (sigmay + sigmaz) ) epsilony &= 1E ( sigmay - v (sigmax + sigmaz) ) epsilonz &= 1E ( sigmaz - v (sigmax + sigmay) ) gammaxy &= tauxyG gammayz &= tauyzG gammaxz &= tauxzG
Onde G = E2(1 + v) é o módulo de cisalhamento, calculado por:

Passo 4

Vamos calcular o módulo de cisalhamento G = 70 GPa2(1 + 0,3) = 70 GPa2 times 1,3 = 702,6 approx 26,923 GPa :
G approx 26,923 times 1000 = 26923 MPa
Convertendo para MPa (1 GPa = 1000 MPa):

Passo 5

Agora, vamos calcular as deformações normais:
epsilonx &= 170000 (34 - 0,3 times (5 + 5)) = 170000 times (34 - 3) = 3170000 approx 0,0004429 epsilony &= 170000 (5 - 0,3 times (34 + 5)) = 170000 times (5 - 11,7) = -6,770000 approx -0,0000957 epsilonz &= 170000 (5 - 0,3 times (34 + 5)) = 170000 times (5 - 11,7) = -6,770000 approx -0,0000957

Passo 6

Agora, vamos calcular as deformações de cisalhamento:
gammaxy &= 4826923 approx 0,001782 gammayz &= 126923 approx 0,0000371 gammaxz &= 826923 approx 0,000297

Passo 7

Finalmente, compilando todos os valores encontrados, o estado de deformação no ponto (1, 2, 4) é:
ll epsilonx approx 4,429 times 10^-4, & gammaxy approx 1,782 times 10^-3 epsilony approx -9,57 times 10^-5, & gammayz approx 3,71 times 10^-5 epsilonz approx -9,57 times 10^-5, & gammaxz approx 2,97 times 10^-4

Resposta

O estado de deformação no ponto (1, 2, 4) é:
ll epsilonx approx 4,429 times 10^-4, & gammaxy approx 1,782 times 10^-3 epsilony approx -9,57 times 10^-5, & gammayz approx 3,71 times 10^-5 epsilonz approx -9,57 times 10^-5, & gammaxz approx 2,97 times 10^-4

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