A structural member supports loads which produce, at a particular point, a direct tensile stress of and a shear stress of on the same plane. Calculate the values and directions of the principal stresses at the point and also the maximum shear stress, stating on which planes this will act.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um elemento estrutural que está sofrendo um estresse normal (tensile) de e um estresse de cisalhamento de no mesmo plano. Nosso objetivo é encontrar os esforços principais nesse ponto, ou seja, os valores máximos e mínimos de estresse atuando em direções especiais, além do esforço máximo de cisalhamento e identificar os planos onde ele ocorre. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre esforços principais e esforços de cisalhamento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como os estresses normais e de cisalhamento atuam juntos em um mesmo plano. Para encontrar os esforços principais, usamos as fórmulas que relacionam esses estresses com os esforços principais máximos e mínimos. As fórmulas básicas para isso são:
Como só temos e (e assumindo que já que não foi mencionado), podemos simplificar.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • (não foi dado, então assumimos zero)
Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 4

Calculando passo a passo:
  1. Média dos estresses normais:
  1. Diferença dos estresses normais:
  1. Esforço de cisalhamento ao quadrado:
  1. Soma dos quadrados:
  1. Raiz quadrada:
Agora, aplicamos na fórmula:

Passo 5

Os esforços principais são e . A direção desses esforços está relacionada ao ângulo que podemos encontrar usando:
Então, os esforços principais atuam a aproximadamente em relação ao eixo original.

Passo 6

Para encontrar o esforço máximo de cisalhamento, usamos:
Esse esforço máximo de cisalhamento atua nos mesmos planos onde ocorrem os esforços principais, mas em direções perpendiculares a eles.

Resposta

Os esforços principais são aproximadamente e , atuando a do eixo original. O esforço máximo de cisalhamento é de cerca de e ocorre nos mesmos planos onde estão os esforços principais.

Exercícios relacionados

The distribution of stress in an aluminum machine component is given (in megapascals) by
Calculate the state of strain of a point positioned at (1, 2, 4). Usc and .
A displacement field in a body is given by
where . Determine the state of strain on an element positioned at .
Show that the compatibility equation for the case of plane strain, viz.
may be expressed in terms of direct stresses and in the form
At a point in an elastic material there are two mutually perpendicular planes, one of which carries a direct tensile stress at and a shear stress of , while the other plane is subjected to a direct compressive stress of and a complementary shear stress of . Determine the principal stresses at the point, the position of the planes on which they act and the position of the planes on which there is no normal stress.
No normal stress on planes at and to vertical.