A structural member supports loads which produce, at a particular point, a direct tensile stress of 80 N / mm^2 and a shear stress of 45 N / mm^2 on the same plane. Calculate the values and directions of the principal stresses at the point and also the maximum shear stress, stating on which planes this will act.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um elemento estrutural que está sofrendo um estresse normal (tensile) de 80 , N/mm^2 e um estresse de cisalhamento de 45 , N/mm^2 no mesmo plano. Nosso objetivo é encontrar os esforços principais nesse ponto, ou seja, os valores máximos e mínimos de estresse atuando em direções especiais, além do esforço máximo de cisalhamento e identificar os planos onde ele ocorre. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre esforços principais e esforços de cisalhamento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como os estresses normais e de cisalhamento atuam juntos em um mesmo plano. Para encontrar os esforços principais, usamos as fórmulas que relacionam esses estresses com os esforços principais máximos e mínimos. As fórmulas básicas para isso são:
sigma1,2 = sigmax + sigmay2 pm raiz(sigmax - sigmay2)^2 + tauxy^2
Como só temos sigmax e tauxy (e assumindo que sigmay = 0 já que não foi mencionado), podemos simplificar.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • sigmax = 80 , N/mm^2
  • sigmay = 0 , N/mm^2 (não foi dado, então assumimos zero)
  • tauxy = 45 , N/mm^2
Substituindo esses valores na fórmula:
sigma1,2 = 80 + 02 pm raiz(80 - 02)^2 + 45^2

Passo 4

Calculando passo a passo:
  1. Média dos estresses normais:
802 = 40
  1. Diferença dos estresses normais:
802 = 40
40^2 = 1600
  1. Esforço de cisalhamento ao quadrado:
45^2 = 2025
  1. Soma dos quadrados:
1600 + 2025 = 3625
  1. Raiz quadrada:
raiz3625 approx 60.21
Agora, aplicamos na fórmula:
sigma1 = 40 + 60.21 = 100.21 , N/mm^2
sigma2 = 40 - 60.21 = -20.21 , N/mm^2

Passo 5

Os esforços principais são 100.21 , N/mm^2 e -20.21 , N/mm^2. A direção desses esforços está relacionada ao ângulo thetap que podemos encontrar usando:
tan(2thetap) = 2tauxysigmax - sigmay = 2 times 4580 = 1.125
2thetap = arctan(1.125) approx 48.59^circ
thetap approx 24.295^circ
Então, os esforços principais atuam a aproximadamente 24.3^circ em relação ao eixo original.

Passo 6

Para encontrar o esforço máximo de cisalhamento, usamos:
taumax = raiz(sigmax - sigmay2)^2 + tauxy^2 approx 60.21 , N/mm^2
Esse esforço máximo de cisalhamento atua nos mesmos planos onde ocorrem os esforços principais, mas em direções perpendiculares a eles.

Resposta

Os esforços principais são aproximadamente 100.21 , N/mm^2 e -20.21 , N/mm^2, atuando a 24.3^circ do eixo original. O esforço máximo de cisalhamento é de cerca de 60.21 , N/mm^2 e ocorre nos mesmos planos onde estão os esforços principais.

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