Dispõe-se de duas barras cilíndricas muito longas e delgadas de mesmo comprimento. Uma barra é de alumínio e tem condutividade térmica k1=200 W /(m ^circ C), mas a condutividade térmica k2 da outra barra é desconhecida. Para determinar esta condutividade térmica, uma extremidade de cada barra é termicamente acoplada a uma superfície metálica mantida a uma temperatura T0. Ambas as barras perdem convectivamente calor, com um coeficiente de transferência de calor hinfty para o ambiente a uma temperatura Tinfty. A temperatura da superfície da barra de alumínio em x1=40 cm da base é a mesma que a temperatura
da barra do material de condutividade térmica desconhecida a x2=20 cm da mesma base. Determine a condutividade térmica k2, da segunda base.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos duas barras cilíndricas bem longas e finas, uma de alumínio com condutividade térmica conhecida k1=200 W/(m cdot ^circC), e outra de material desconhecido com condutividade térmica k2. Ambas estão conectadas termicamente a uma superfície mantida a uma temperatura T0 e perdem calor para o ambiente através da convecção, com coeficiente de transferência de calor hinfty e temperatura ambiente Tinfty. A temperatura em um ponto específico de cada barra é a mesma: na barra de alumínio, em x1=40 cm, e na barra desconhecida, em x2=20 cm. Nosso objetivo é descobrir o valor de k2.
Vamos precisar usar conceitos de condução de calor em regime estacionário e transferência de calor por convecção. Além disso, vamos aplicar a equação de equilíbrio térmico para cada barra e igualar as temperaturas nos pontos dados para encontrar k2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o calor flui ao longo de cada barra. Em regime estacionário, a taxa de condução de calor ao longo da barra deve ser igual à taxa de calor perdida por convecção.
A equação básica que relaciona a condução de calor em uma barra longa é dada por:
dTdx = -qk
Onde:
  • dTdx é o gradiente de temperatura ao longo da barra,
  • q é a taxa de transferência de calor por unidade de área,
  • k é a condutividade térmica do material.
Como há perda de calor por convecção, podemos relacionar q com a diferença de temperatura entre a barra e o ambiente usando a lei de resfriamento de Newton:
q = hinfty (T - Tinfty)
Substituindo na primeira equação:
dTdx = -hinftyk (T - Tinfty)
Essa é uma equação diferencial que descreve como a temperatura varia ao longo da barra.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar como a temperatura varia com a posição x na barra.
Rearranjando os termos:
dTdx + hinftyk T = hinftyk Tinfty
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação é:
T(x) = Tinfty + (T0 - Tinfty) e^-hinftyk x
Onde T0 é a temperatura na extremidade acoplada ( x=0).

Passo 4

Agora, aplicamos essa solução para cada uma das barras.
Para a barra de alumínio:
TAl(x1) = Tinfty + (T0 - Tinfty) e^-hinftyk1 x1
Para a barra desconhecida:
TDesconhecida(x2) = Tinfty + (T0 - Tinfty) e^-hinftyk2 x2
De acordo com o enunciado, em x1=40 cm na barra de alumínio e x2=20 cm na barra desconhecida, as temperaturas são iguais:
TAl(40) = TDesconhecida(20)

Passo 5

Substituindo as expressões de temperatura na igualdade:
Tinfty + (T0 - Tinfty) e^-hinftyk1 cdot 0.40 = Tinfty + (T0 - Tinfty) e^-hinftyk2 cdot 0.20
Podemos simplificar cancelando Tinfty dos dois lados:
(T0 - Tinfty) e^-hinftyk1 cdot 0.40 = (T0 - Tinfty) e^-hinftyk2 cdot 0.20
Como (T0 - Tinfty) é comum nos dois lados, podemos dividir ambos os lados por esse termo (assumindo que T0 neq Tinfty):
e^-hinftyk1 cdot 0.40 = e^-hinftyk2 cdot 0.20

Passo 6

Para resolver essa equação, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
-hinftyk1 cdot 0.40 = -hinftyk2 cdot 0.20
Simplificando os sinais negativos:
hinftyk1 cdot 0.40 = hinftyk2 cdot 0.20
Podemos cancelar hinfty dos dois lados:
0.40k1 = 0.20k2

Passo 7

Agora, resolvemos para k2:
k2 = 0.200.40 cdot k1
Simplificando a fração:
k2 = 0.5 cdot k1
Substituindo k1 = 200 W/(m cdot ^circC):
k2 = 0.5 cdot 200 = 100 , W/(m cdot ^circC)

Resposta

A condutividade térmica da segunda barra é k2 = 100 W/(m cdot ^circC).

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