Dispõe-se de duas barras cilíndricas muito longas e delgadas de mesmo comprimento. Uma barra é de alumínio e tem condutividade térmica
, mas a condutividade térmica
da outra barra é desconhecida. Para determinar esta condutividade térmica, uma extremidade de cada barra é termicamente acoplada a uma superfície metálica mantida a uma temperatura
. Ambas as barras perdem convectivamente calor, com um coeficiente de transferência de calor
para o ambiente a uma temperatura
. A temperatura da superfície da barra de alumínio em
da base é a mesma que a temperatura
da barra do material de condutividade térmica desconhecida a
da mesma base. Determine a condutividade térmica
, da segunda base.
da barra do material de condutividade térmica desconhecida a
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos duas barras cilíndricas bem longas e finas, uma de alumínio com condutividade térmica conhecida
, e outra de material desconhecido com condutividade térmica
. Ambas estão conectadas termicamente a uma superfície mantida a uma temperatura
e perdem calor para o ambiente através da convecção, com coeficiente de transferência de calor
e temperatura ambiente
. A temperatura em um ponto específico de cada barra é a mesma: na barra de alumínio, em
cm, e na barra desconhecida, em
cm. Nosso objetivo é descobrir o valor de
.
Vamos precisar usar conceitos de condução de calor em regime estacionário e transferência de calor por convecção. Além disso, vamos aplicar a equação de equilíbrio térmico para cada barra e igualar as temperaturas nos pontos dados para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o calor flui ao longo de cada barra. Em regime estacionário, a taxa de condução de calor ao longo da barra deve ser igual à taxa de calor perdida por convecção.
A equação básica que relaciona a condução de calor em uma barra longa é dada por:
Onde:
-
é o gradiente de temperatura ao longo da barra, -
é a taxa de transferência de calor por unidade de área, -
é a condutividade térmica do material.
Como há perda de calor por convecção, podemos relacionar
com a diferença de temperatura entre a barra e o ambiente usando a lei de resfriamento de Newton:
Substituindo na primeira equação:
Essa é uma equação diferencial que descreve como a temperatura varia ao longo da barra.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar como a temperatura varia com a posição
na barra.
Rearranjando os termos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação é:
Onde
é a temperatura na extremidade acoplada (
).
Passo 4
Agora, aplicamos essa solução para cada uma das barras.
Para a barra de alumínio:
Para a barra desconhecida:
De acordo com o enunciado, em
cm na barra de alumínio e
cm na barra desconhecida, as temperaturas são iguais:
Passo 5
Substituindo as expressões de temperatura na igualdade:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Como
é comum nos dois lados, podemos dividir ambos os lados por esse termo (assumindo que
):
Passo 6
Para resolver essa equação, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Simplificando os sinais negativos:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Simplificando a fração:
Substituindo
:
Resposta
A condutividade térmica da segunda barra é
.