Dispõe-se de duas barras cilíndricas muito longas e delgadas de mesmo comprimento. Uma barra é de alumínio e tem condutividade térmica , mas a condutividade térmica da outra barra é desconhecida. Para determinar esta condutividade térmica, uma extremidade de cada barra é termicamente acoplada a uma superfície metálica mantida a uma temperatura . Ambas as barras perdem convectivamente calor, com um coeficiente de transferência de calor para o ambiente a uma temperatura . A temperatura da superfície da barra de alumínio em da base é a mesma que a temperatura
da barra do material de condutividade térmica desconhecida a da mesma base. Determine a condutividade térmica , da segunda base.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos duas barras cilíndricas bem longas e finas, uma de alumínio com condutividade térmica conhecida , e outra de material desconhecido com condutividade térmica . Ambas estão conectadas termicamente a uma superfície mantida a uma temperatura e perdem calor para o ambiente através da convecção, com coeficiente de transferência de calor e temperatura ambiente . A temperatura em um ponto específico de cada barra é a mesma: na barra de alumínio, em cm, e na barra desconhecida, em cm. Nosso objetivo é descobrir o valor de .
Vamos precisar usar conceitos de condução de calor em regime estacionário e transferência de calor por convecção. Além disso, vamos aplicar a equação de equilíbrio térmico para cada barra e igualar as temperaturas nos pontos dados para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o calor flui ao longo de cada barra. Em regime estacionário, a taxa de condução de calor ao longo da barra deve ser igual à taxa de calor perdida por convecção.
A equação básica que relaciona a condução de calor em uma barra longa é dada por:
Onde:
  • é o gradiente de temperatura ao longo da barra,
  • é a taxa de transferência de calor por unidade de área,
  • é a condutividade térmica do material.
Como há perda de calor por convecção, podemos relacionar com a diferença de temperatura entre a barra e o ambiente usando a lei de resfriamento de Newton:
Substituindo na primeira equação:
Essa é uma equação diferencial que descreve como a temperatura varia ao longo da barra.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar como a temperatura varia com a posição na barra.
Rearranjando os termos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação é:
Onde é a temperatura na extremidade acoplada ( ).

Passo 4

Agora, aplicamos essa solução para cada uma das barras.
Para a barra de alumínio:
Para a barra desconhecida:
De acordo com o enunciado, em cm na barra de alumínio e cm na barra desconhecida, as temperaturas são iguais:

Passo 5

Substituindo as expressões de temperatura na igualdade:
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:
Como é comum nos dois lados, podemos dividir ambos os lados por esse termo (assumindo que ):

Passo 6

Para resolver essa equação, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Simplificando os sinais negativos:
Podemos cancelar dos dois lados:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Simplificando a fração:
Substituindo :

Resposta

A condutividade térmica da segunda barra é .

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