A distância do centro da circunferência x^2+2 x+y^2-4 y+2=0 à origem é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir qual é a distância entre o centro da circunferência definida pela equação e a origem dos eixos, que é o ponto . Para resolver isso, vamos precisar mexer com a fórmula da circunferência no plano cartesiano e com a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação da circunferência para descobrir onde fica o seu centro. A equação geral de uma circunferência é . Mas para achar o centro, é mais fácil se a equação estiver na forma padrão: , onde é o centro e é o raio.

Passo 3

Para transformar nossa equação na forma padrão, vamos completar os quadrados para os termos de x^2 + 2x e (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x + 1)^2 - 1.
Começando com os termos de y^2 - 4y:
(y^2 - 4y + 4) - 4 = (y - 2)^2 - 4
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de (x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + 2 = 0, que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: (x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 3 = 0. Então, adicionamos e subtraímos 1:
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 3
Fazendo o mesmo para os termos de :
Coeficiente de é -4, então . Adicionamos e subtraímos 4:
Agora, substituímos de volta na equação original:
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos a forma padrão h = -1, podemos identificar o centro da circunferência. No nosso caso:
k = 2
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Então, o centro está em d = raiz(-1 - 0)^2 + (2 - 0)^2 = raiz1 + 4 = raiz5 .
Para encontrar a distância desse ponto até a origem , usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:

Resposta

A distância do centro da circunferência à origem é unidades.

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