Qual é a distância entre os centros das circunferências de equações (x-3)^2+y^2=11 e x^2+y^2+2 x-6 y-12=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar a distância entre os centros de duas circunferências dadas pelas equações e . Nosso conteúdo principal aqui é a geometria analítica, especificamente o estudo das circunferências e como identificar seus centros a partir das equações. Para isso, vamos precisar entender como transformar a equação geral da circunferência na sua forma padrão e, depois, aplicar a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da primeira circunferência. A equação dada é . Isso já está na forma padrão da equação da circunferência, que é , onde são as coordenadas do centro e é o raio.
Comparando, vemos que:
  • (porque não há termo de subtraído, o que equivale a )
Então, o centro da primeira circunferência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o centro da segunda circunferência, cuja equação é x^2 + 2x + y^2 - 6y = 12 . Essa equação está na forma geral da circunferência. Para encontrar o centro, precisamos completar o quadrado para os termos de (x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) = 12 + 1 + 9 e (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 22 .
Primeiro, agrupamos os termos de e de :
Agora, completamos o quadrado para :
  • Pegamos o coeficiente de , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: .
  • Adicionamos e subtraímos esse valor: .
Fazemos o mesmo para :
  • Coeficiente de é -6, então .
  • Adicionamos e subtraímos: .
Substituindo na equação:
Agora, a equação está na forma padrão, onde:
Portanto, o centro da segunda circunferência é .

Passo 4

Agora que temos os centros das duas circunferências, podemos calcular a distância entre eles usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. A fórmula é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Onde d = raiz((-1) - 3)^2 + (3 - 0)^2 = raiz(-4)^2 + 3^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5 e são as coordenadas dos dois pontos.
Substituindo:
  • Primeiro centro:
  • Segundo centro:
Calculamos:

Resposta

A distância entre os centros das circunferências é 5 unidades.

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