Qual é a distância entre os centros das circunferências de equações
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar a distância entre os centros de duas circunferências dadas pelas equações
e
. Nosso conteúdo principal aqui é a geometria analítica, especificamente o estudo das circunferências e como identificar seus centros a partir das equações. Para isso, vamos precisar entender como transformar a equação geral da circunferência na sua forma padrão e, depois, aplicar a fórmula da distância entre dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da primeira circunferência. A equação dada é
. Isso já está na forma padrão da equação da circunferência, que é
, onde
são as coordenadas do centro e
é o raio.
Comparando, vemos que:
-
-
(porque não há termo de subtraído, o que equivale a ) -
Então, o centro da primeira circunferência é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o centro da segunda circunferência, cuja equação é
. Essa equação está na forma geral da circunferência. Para encontrar o centro, precisamos completar o quadrado para os termos de
e
.
Primeiro, agrupamos os termos de
e de
:
Agora, completamos o quadrado para
:
- Pegamos o coeficiente de
, que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: . - Adicionamos e subtraímos esse valor:
.
Fazemos o mesmo para
:
- Coeficiente de
é -6, então . - Adicionamos e subtraímos:
.
Substituindo na equação:
Agora, a equação está na forma padrão, onde:
Portanto, o centro da segunda circunferência é
.
Passo 4
Agora que temos os centros das duas circunferências, podemos calcular a distância entre eles usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. A fórmula é:
Onde
e
são as coordenadas dos dois pontos.
Substituindo:
- Primeiro centro:
- Segundo centro:
Calculamos:
Resposta
A distância entre os centros das circunferências é 5 unidades.
Exercícios relacionados
Sabendo-se que a circunferência
possui apenas um ponto em comum com a reta y
, conclui-se que
é igual a:
No plano cartesiano, a circunferência que passa pelo ponto
e é concêntrica com a circunferência
tem a seguinte equação:
Considere a circunferência
dada pela equação
. O raio dessa circunferência é:
A distância do centro da circunferência
à origem é: