Uma distribuição de carga esfericamente simétrica tem densidade volumétrica de carga dada por
rho(r)=rho0 exp (-r / a) (0 <= r
onde rho0 é uma constante e r é a distância à origem.
(a) Calcule a carga total da distribuição.
(b) Calcule o campo elétrico num ponto qualquer do espaço.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre distribuição de carga elétrica! A gente tem uma distribuição esférica de carga com densidade volumétrica dada por , onde é uma constante e é a distância do ponto à origem. Vamos precisar usar conceitos de carga elétrica total e campo elétrico em distribuições esféricas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total da distribuição. Para isso, a gente integra a densidade de carga Q = integral0^infty rho(r) , dV = integral0^infty rho0 exp(-r / a) cdot 4pi r^2 dr sobre todo o volume da esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é . Então, a carga total é:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. Fatorando as constantes:
Q = 4pi rho0 integral0^infty r^2 exp(-r / a) dr
Sabemos que integral0^infty r^2 exp(-r / a) dr = 2! , a^3 = 2 a^3 para inteiro. No nosso caso, :

Passo 4

Substituindo de volta na expressão para Q = 4pi rho0 cdot 2 a^3 = 8pi rho0 a^3 :

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico num ponto qualquer do espaço. A simetria esférica nos permite usar a Lei de Gauss. Dependendo da posição do ponto em relação à distribuição de carga, o campo elétrico será diferente.

Passo 6

Vamos considerar um ponto a uma distância oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 do centro. Usamos uma superfície gaussiana esférica de raio E cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0 . Pelo teorema de Gauss:
E(r) = Qenc4pi varepsilon0 r^2
Como o campo é radial e de mesmo módulo em toda a superfície, a integral fica:
Então, isolando :

Passo 7

Precisamos encontrar Qenc = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi rho0 integral0^r r'^2 exp(-r' / a) dr' , a carga dentro da esfera de raio . Integramos a densidade de carga até :

Passo 8

Resolvendo essa integral, temos:
integral0^r r'^2 exp(-r' / a) dr' = 2 a^3 (1 - (1 + ra + r^22a^2) exp(-r / a))
Portanto,
Qenc = 4pi rho0 cdot 2 a^3 (1 - (1 + ra + r^22a^2) exp(-r / a)) = 8pi rho0 a^3 (1 - (1 + ra + r^22a^2) exp(-r / a))

Passo 9

Substituindo E(r) = 8pi rho0 a^3 (1 - (1 + ra + r^22a^2) exp(-r / a))4pi varepsilon0 r^2 = 2 rho0 a^3varepsilon0 r^2 (1 - (1 + ra + r^22a^2) exp(-r / a)) na expressão para :

Resposta

(a) A carga total da distribuição é E(r) = 2 rho0 a^3varepsilon0 r^2 (1 - (1 + ra + r^22a^2) exp(-ra)) .
(b) O campo elétrico num ponto a uma distância do centro é

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