Uma distribuição de carga esfericamente simétrica tem densidade volumétrica de carga dada por
onde
é uma constante e
é a distância à origem.
(a) Calcule a carga total da distribuição.
(b) Calcule o campo elétrico num ponto qualquer do espaço.
(a) Calcule a carga total da distribuição.
(b) Calcule o campo elétrico num ponto qualquer do espaço.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre distribuição de carga elétrica! A gente tem uma distribuição esférica de carga com densidade volumétrica dada por
, onde
é uma constante e
é a distância do ponto à origem. Vamos precisar usar conceitos de carga elétrica total e campo elétrico em distribuições esféricas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total da distribuição. Para isso, a gente integra a densidade de carga
sobre todo o volume da esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é
. Então, a carga total
é:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral. Fatorando as constantes:
Sabemos que
para
inteiro. No nosso caso,
:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o campo elétrico num ponto qualquer do espaço. A simetria esférica nos permite usar a Lei de Gauss. Dependendo da posição do ponto em relação à distribuição de carga, o campo elétrico será diferente.
Passo 6
Vamos considerar um ponto a uma distância
do centro. Usamos uma superfície gaussiana esférica de raio
. Pelo teorema de Gauss:
Como o campo é radial e de mesmo módulo em toda a superfície, a integral fica:
Então, isolando
:
Passo 7
Precisamos encontrar
, a carga dentro da esfera de raio
. Integramos a densidade de carga até
:
Passo 8
Resolvendo essa integral, temos:
Portanto,
Passo 9
Substituindo
na expressão para
:
Resposta
(a) A carga total da distribuição é
.
(b) O campo elétrico num ponto a uma distância
do centro é