Uma distribuição de carga esfericamente simétrica tem densidade volumétrica de carga dada por
onde é uma constante e é a distância à origem.
(a) Calcule a carga total da distribuição.
(b) Calcule o campo elétrico num ponto qualquer do espaço.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre distribuição de carga elétrica! A gente tem uma distribuição esférica de carga com densidade volumétrica dada por , onde é uma constante e é a distância do ponto à origem. Vamos precisar usar conceitos de carga elétrica total e campo elétrico em distribuições esféricas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total da distribuição. Para isso, a gente integra a densidade de carga sobre todo o volume da esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é . Então, a carga total é:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. Fatorando as constantes:
Sabemos que para inteiro. No nosso caso, :

Passo 4

Substituindo de volta na expressão para :

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico num ponto qualquer do espaço. A simetria esférica nos permite usar a Lei de Gauss. Dependendo da posição do ponto em relação à distribuição de carga, o campo elétrico será diferente.

Passo 6

Vamos considerar um ponto a uma distância do centro. Usamos uma superfície gaussiana esférica de raio . Pelo teorema de Gauss:
Como o campo é radial e de mesmo módulo em toda a superfície, a integral fica:
Então, isolando :

Passo 7

Precisamos encontrar , a carga dentro da esfera de raio . Integramos a densidade de carga até :

Passo 8

Resolvendo essa integral, temos:
Portanto,

Passo 9

Substituindo na expressão para :

Resposta

(a) A carga total da distribuição é .
(b) O campo elétrico num ponto a uma distância do centro é

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