A distância do ponto (1,2) à recta 3 x+4 y+1=0 é:
A. 125
B. 512
C. -125
D. -512

Passo 1

Vamos resumir a questão: queremos encontrar a distância do ponto (1,2) à reta 3x + 4y + 1 = 0. Para resolver isso, vamos usar a geometria analítica, especificamente a fórmula que calcula a distância entre um ponto e uma reta.

Passo 2

A fórmula para calcular a distância d entre um ponto (x0, y0) e uma reta da forma ax + by + c = 0 é:
d = |a x0 + b y0 + c|raiza^2 + b^2
Essa fórmula nos diz que a distância é o valor absoluto da substituição das coordenadas do ponto na equação da reta, dividida pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes de x e y.

Passo 3

Identificamos os valores na equação da reta 3x + 4y + 1 = 0:
  • a = 3
  • b = 4
  • c = 1
E o ponto dado é (x0, y0) = (1, 2).

Passo 4

Substituímos esses valores na fórmula da distância:
d = |3 cdot 1 + 4 cdot 2 + 1|raiz3^2 + 4^2
Calculando o numerador:
3 cdot 1 + 4 cdot 2 + 1 = 3 + 8 + 1 = 12
Então:
d = |12|raiz9 + 16 = 12raiz25 = 125

Resposta

A distância é 125, ou seja, a opção A.

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