Distribuição amostral de
: Considere uma população fictícia formada pelas medidas
. O objetivo deste exercício é verificar as fórmulas para o valor esperado e o desvio padrão da média amostral
.
e) Explique porque
e dito que um estimador não-viesado para
.
e) Explique porque
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a distribuição amostral da média
. Temos uma população fictícia com os valores
. O conteúdo aqui envolve conceitos de estatística, especificamente sobre estimadores e propriedades como o valor esperado. Vamos precisar entender o que é um estimador não-viesado e como a média amostral
se comporta em relação ao valor real da média da população
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um estimador não-viesado. Um estimador é não-viesado se o seu valor esperado é igual ao parâmetro que ele está estimando. No nosso caso, queremos mostrar que o valor esperado da média amostral
é igual à média da população
.
Passo 3
Vamos calcular a média da população
. Somamos todos os valores da população e dividimos pelo número de elementos:
Passo 4
Agora, vamos entender o que é a média amostral
. Ela é a média calculada a partir de uma amostra retirada da população. No caso de populações pequenas e sem reposição, como a nossa, todas as médias amostrais possíveis podem ser consideradas.
Passo 5
O valor esperado da média amostral
é a média de todas as possíveis médias amostrais. Vamos calcular isso. Primeiro, listamos todas as combinações possíveis de amostras e suas respectivas médias.
Passo 6
Para simplificar, sabemos que, por propriedades da estatística, o valor esperado da média amostral
é igual à média da população
. Ou seja:
Passo 7
Como calculamos anteriormente que
, então:
Passo 8
Isso significa que, em média, a média das amostras
será igual à média da população
. Portanto,
é um estimador não-viesado para
, porque não tende a superestimar nem a subestimar o valor real da média da população.
Resposta
A média amostral
é um estimador não-viesado para
porque o valor esperado de
é igual à média da população
, ou seja,
.
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