Distribuição amostral de : Considere uma população fictícia formada pelas medidas . O objetivo deste exercício é verificar as fórmulas para o valor esperado e o desvio padrão da média amostral .
e) Explique porque e dito que um estimador não-viesado para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a distribuição amostral da média . Temos uma população fictícia com os valores . O conteúdo aqui envolve conceitos de estatística, especificamente sobre estimadores e propriedades como o valor esperado. Vamos precisar entender o que é um estimador não-viesado e como a média amostral se comporta em relação ao valor real da média da população .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um estimador não-viesado. Um estimador é não-viesado se o seu valor esperado é igual ao parâmetro que ele está estimando. No nosso caso, queremos mostrar que o valor esperado da média amostral é igual à média da população .

Passo 3

Vamos calcular a média da população . Somamos todos os valores da população e dividimos pelo número de elementos:

Passo 4

Agora, vamos entender o que é a média amostral . Ela é a média calculada a partir de uma amostra retirada da população. No caso de populações pequenas e sem reposição, como a nossa, todas as médias amostrais possíveis podem ser consideradas.

Passo 5

O valor esperado da média amostral é a média de todas as possíveis médias amostrais. Vamos calcular isso. Primeiro, listamos todas as combinações possíveis de amostras e suas respectivas médias.

Passo 6

Para simplificar, sabemos que, por propriedades da estatística, o valor esperado da média amostral é igual à média da população . Ou seja:

Passo 7

Como calculamos anteriormente que , então:

Passo 8

Isso significa que, em média, a média das amostras será igual à média da população . Portanto, é um estimador não-viesado para , porque não tende a superestimar nem a subestimar o valor real da média da população.

Resposta

A média amostral é um estimador não-viesado para porque o valor esperado de é igual à média da população , ou seja, .

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