Estima-se que 10 % dos livros de uma biblioteca estejam inutilizados. Tomando-se uma amostra de 64 livros, qual a probabilidade de que encontremos no maximo 6 % de livros inutilizados?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a probabilidade de encontrar no máximo 6% de livros inutilizados numa amostra de 64 livros, sabendo que, na verdade, 10% dos livros da biblioteca estão inutilizados. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Probabilidade de um livro estar inutilizado §: 10% ou 0,10
  • Tamanho da amostra (n): 64 livros
  • Proporção máxima que estamos verificando (6% ou 0,06)
Queremos saber a probabilidade de que, na amostra de 64 livros, no máximo 6% estejam inutilizados.

Passo 3

Como estamos lidando com eventos binários (cada livro está ou não inutilizado) e uma amostra relativamente grande, podemos usar a distribuição normal como uma aproximação da distribuição binomial. Isso facilita os cálculos.

Passo 4

Primeiro, calculamos a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial:

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de encontrar no máximo 6% de livros inutilizados. Isso significa que queremos que no máximo:
Como não podemos ter uma fração de livro, arredondamos para 4 livros.

Passo 6

Utilizamos a transformação para o escore z para encontrar essa probabilidade na distribuição normal:

Passo 7

Consultando a tabela da distribuição normal (ou usando uma calculadora), encontramos a probabilidade correspondente a z = -1.00. A tabela nos diz que:
Isso significa que há aproximadamente 15,87% de chance de encontrar no máximo 4 livros inutilizados na amostra.

Resposta

A probabilidade de encontrar no máximo 6% de livros inutilizados numa amostra de 64 livros é aproximadamente 15,87%.

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