Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de de itens defeituosos na produção. Supondo que a produçào esteja sob controle (isto é, ) e que os itens sejam vendidos em caixas com 100 unidades:
(b) Qual a probabilidade de que uma caixa contenha no máximo de defeituosos?

Passo 1

Então, vamos lá! O problema fala sobre controle de qualidade na produção, onde queremos garantir que no máximo 10% dos itens sejam defeituosos. Aqui, a produção está sob controle, ou seja, a probabilidade de um item ser defeituoso é de . Os itens são vendidos em caixas com 100 unidades. Precisamos calcular a probabilidade de que uma caixa contenha no máximo 8% de itens defeituosos. Vamos usar conceitos de probabilidade binomial e a aproximação normal para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que estamos lidando. Temos uma produção com 100 itens por caixa, e cada item tem 10% de chance de ser defeituoso. Queremos saber a probabilidade de que, em uma caixa, até 8 itens sejam defeituosos. Isso é um caso de distribuição binomial, onde:
  • Número de tentativas ( ) = 100
  • Probabilidade de sucesso ( ) = 0.10 (já que sucesso aqui significa um item defeituoso)
  • Queremos

Passo 3

A distribuição binomial nos dá a probabilidade de obter exatamente sucessos em tentativas:
No entanto, calcular isso para cada de 0 a 8 e somar pode ser trabalhoso. Por isso, vamos usar a aproximação normal, que simplifica os cálculos para grandes valores de .

Passo 4

Para usar a aproximação normal, precisamos verificar se os critérios são atendidos. Geralmente, se e , a aproximação é válida. Aqui:
Então, podemos prosseguir.

Passo 5

Vamos calcular a média ( ) e o desvio padrão ( ) da distribuição binomial:

Passo 6

Agora, queremos encontrar a probabilidade de . Usando a aproximação normal, aplicamos a correção de continuidade adicionando 0.5:
Calculamos o escore-z:

Passo 7

Com o escore-z de -0.5, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora de distribuição acumulada. A probabilidade correspondente a é aproximadamente 0.3085.

Resposta

A probabilidade de que uma caixa contenha no máximo de itens defeituosos é aproximadamente .

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