Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de
de itens defeituosos na produção. Supondo que a produçào esteja sob controle (isto é,
) e que os itens sejam vendidos em caixas com 100 unidades:
(b) Qual a probabilidade de que uma caixa contenha no máximo
de defeituosos?
(b) Qual a probabilidade de que uma caixa contenha no máximo
Passo 1
Então, vamos lá! O problema fala sobre controle de qualidade na produção, onde queremos garantir que no máximo 10% dos itens sejam defeituosos. Aqui, a produção está sob controle, ou seja, a probabilidade de um item ser defeituoso é de
. Os itens são vendidos em caixas com 100 unidades. Precisamos calcular a probabilidade de que uma caixa contenha no máximo 8% de itens defeituosos. Vamos usar conceitos de probabilidade binomial e a aproximação normal para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que estamos lidando. Temos uma produção com 100 itens por caixa, e cada item tem 10% de chance de ser defeituoso. Queremos saber a probabilidade de que, em uma caixa, até 8 itens sejam defeituosos. Isso é um caso de distribuição binomial, onde:
- Número de tentativas (
) = 100 - Probabilidade de sucesso (
) = 0.10 (já que sucesso aqui significa um item defeituoso) - Queremos
Passo 3
A distribuição binomial nos dá a probabilidade de obter exatamente
sucessos em
tentativas:
No entanto, calcular isso para cada
de 0 a 8 e somar pode ser trabalhoso. Por isso, vamos usar a aproximação normal, que simplifica os cálculos para grandes valores de
.
Passo 4
Para usar a aproximação normal, precisamos verificar se os critérios são atendidos. Geralmente, se
e
, a aproximação é válida. Aqui:
Então, podemos prosseguir.
Passo 5
Vamos calcular a média (
) e o desvio padrão (
) da distribuição binomial:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a probabilidade de
. Usando a aproximação normal, aplicamos a correção de continuidade adicionando 0.5:
Calculamos o escore-z:
Passo 7
Com o escore-z de -0.5, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora de distribuição acumulada. A probabilidade correspondente a
é aproximadamente 0.3085.
Resposta
A probabilidade de que uma caixa contenha no máximo
de itens defeituosos é aproximadamente
.
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