Distribuição binomial Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados no ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre os 13 selecionados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre distribuição binomial, que é usada quando a gente tem uma série de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades: sucesso ou fracasso. Aqui, sabemos que 20% dos moradores têm alergia (sucesso) e queremos descobrir a probabilidade de pelo menos 4 de 13 selecionados terem alergia. Vamos precisar da fórmula da distribuição binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros que vamos usar na fórmula da distribuição binomial. Temos:
  • Número de tentativas (n): 13 moradores selecionados.
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: 20% ou 0,20.
  • Queremos a probabilidade de ter pelo menos 4 sucessos (k ≥ 4).

Passo 3

A distribuição binomial nos dá a probabilidade de ter exatamente k sucessos em n tentativas. Mas como queremos “pelo menos 4”, vamos calcular a probabilidade de ter 4 ou mais. Uma forma mais fácil é calcular 1 menos a probabilidade de ter até 3 sucessos (k ≤ 3).

Passo 4

Então, nossa estratégia é:
P(X >= 4) = 1 - P(X <= 3)
Vamos calcular $ P(X \leq 3) $, que é a soma das probabilidades de ter 0, 1, 2 e 3 pessoas com alergia.

Passo 5

A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1-p)^n-k
Vamos calcular cada termo:
  1. Para k = 0:
P(X = 0) = binom130 cdot (0,20)^0 cdot (0,80)^13
P(X = 0) = 1 cdot 1 cdot (0,80)^13 approx 0,054
  1. Para k = 1:
P(X = 1) = binom131 cdot (0,20)^1 cdot (0,80)^12
P(X = 1) = 13 cdot 0,20 cdot (0,80)^12 approx 0,138
  1. Para k = 2:
P(X = 2) = binom132 cdot (0,20)^2 cdot (0,80)^11
P(X = 2) = 78 cdot 0,04 cdot (0,80)^11 approx 0,228
  1. Para k = 3:
P(X = 3) = binom133 cdot (0,20)^3 cdot (0,80)^10
P(X = 3) = 286 cdot 0,008 cdot (0,80)^10 approx 0,254

Passo 6

Agora, somamos essas probabilidades para encontrar $ P(X \leq 3) $:
P(X <= 3)
P(X <= 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)

Resposta

Finalmente, a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre os 13 selecionados é:
P(X >= 4) = 1 - P(X <= 3)
P(X >= 4) = 1 - 0,674 = 0,326
Ou seja, há aproximadamente 32,6% de chance.

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