Distribuição binomial Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados no ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre os 13 selecionados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre distribuição binomial, que é usada quando a gente tem uma série de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades: sucesso ou fracasso. Aqui, sabemos que 20% dos moradores têm alergia (sucesso) e queremos descobrir a probabilidade de pelo menos 4 de 13 selecionados terem alergia. Vamos precisar da fórmula da distribuição binomial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros que vamos usar na fórmula da distribuição binomial. Temos:
- Número de tentativas (n): 13 moradores selecionados.
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: 20% ou 0,20.
- Queremos a probabilidade de ter pelo menos 4 sucessos (k ≥ 4).
Passo 3
A distribuição binomial nos dá a probabilidade de ter exatamente k sucessos em n tentativas. Mas como queremos “pelo menos 4”, vamos calcular a probabilidade de ter 4 ou mais. Uma forma mais fácil é calcular 1 menos a probabilidade de ter até 3 sucessos (k ≤ 3).
Passo 4
Então, nossa estratégia é:
Vamos calcular $ P(X \leq 3) $, que é a soma das probabilidades de ter 0, 1, 2 e 3 pessoas com alergia.
Passo 5
A fórmula da distribuição binomial é:
Vamos calcular cada termo:
- Para k = 0:
- Para k = 1:
- Para k = 2:
- Para k = 3:
Passo 6
Agora, somamos essas probabilidades para encontrar $ P(X \leq 3) $:
Resposta
Finalmente, a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre os 13 selecionados é:
Ou seja, há aproximadamente 32,6% de chance.