Uma distribuição de carga esfericamente simétrica, porém não uniforme, possui uma densidade dada por:
& rho(r)=rho0(1-4 r / 3 R) para r <= R & rho(r)=0 para r >= R
Em que rho0 é uma constante positiva. (a) Calcule a carga total contida na distribuição de cargas. Obtenha uma expressão para o campo elétrico na região (b) r >= R; © r <= R; (d) Faça um gráfico do módulo do campo elétrico E em função de r para o qual o campo elétrico atinge seu valor máximo e calcule o valor desse campo elétrico máximo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre distribuição de carga esférica não uniforme. A gente vai precisar usar conceitos de densidade de carga, integração para encontrar a carga total e a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico em diferentes regiões. Vamos por partes para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total contida na distribuição. A densidade de carga é dada por:
rho(r) = rho0(1 - 4r3R) para r <= R
E zero para Q = integral0^R rho(r) cdot 4pi r^2 dr . Para achar a carga total , integramos a densidade de carga sobre todo o volume da esfera:

Passo 3

Vamos calcular essa integral passo a passo. Substituindo Q = integral0^R rho0(1 - 4r3R) 4pi r^2 dr = 4pi rho0 integral0^R (r^2 - 4r^33R) dr :
Q = 4pi rho0 [ r^33 - 4r^412R ]0^R = 4pi rho0 ( R^33 - 4R^412R ) = 4pi rho0 ( R^33 - R^33 ) = 0
Integrando termo a termo:
Q = 4pi rho0 [ R^33 - 4R^412R ] = 4pi rho0 ( R^33 - R^33 ) = 0
Ops! Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos recalcular.
Avaliar corretamente:
rho(r) = rho0(1 - 4r3R)
Na verdade, a carga total não pode ser zero se Q = integral0^3R4 rho0(1 - 4r3R) 4pi r^2 dr é positivo. Vamos verificar a expressão original da densidade.
Parece que houve um engano na interpretação da densidade. Vamos revisar:
Para que a densidade seja positiva, devemos ter , o que implica . Portanto, a densidade é zero para .
Então, a carga total será:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral correta:
Q = 4pi rho0 integral0^3R4 (r^2 - 4r^33R) dr = 4pi rho0 [ r^33 - 4r^412R ]0^3R4
Simplificando:
Q = 4pi rho0 ( (3R4)^33 - 4(3R4)^412R ) = 4pi rho0 ( 27R^3192 - 81R^3768 )
Calculando os termos:
Q = 4pi rho0 ( 27192 - 81768 ) R^3 = 4pi rho0 ( 108 - 81768 ) R^3 = 4pi rho0 ( 27768 ) R^3
Simplificando:
Q = 108pi rho0 R^3768 = 9pi rho0 R^364

Passo 5

Agora, vamos determinar o campo elétrico nas diferentes regiões usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Para uma distribuição esférica, o campo elétrico E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 Rightarrow E = Q4pi varepsilon0 r^2 depende apenas da distância E = 9pi rho0 R^364 cdot 4pi varepsilon0 r^2 = 9 rho0 R^3256 varepsilon0 r^2 do centro.
(b) Para Qenc = integral0^r rho(s) cdot 4pi s^2 ds = 4pi rho0 integral0^r (1 - 4s3R) s^2 ds :
Toda a carga Qenc = 4pi rho0 [ s^33 - 4s^412R ]0^r = 4pi rho0 ( r^33 - r^43R ) está dentro da superfície gaussiana. Então,
E cdot 4pi r^2 = 4pi rho03 (r^3 - r^4R) Rightarrow E = rho03 varepsilon0 (r - r^2R)
Substituindo :
© Para :
Só consideramos a carga dentro do raio :
Calculando a integral:
Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 6

Por último, vamos fazer um gráfico do módulo do campo elétrico E(r) = rho03 varepsilon0 (r - r^2R) em função de dEdr = rho03 varepsilon0 (1 - 2rR) = 0 Rightarrow 1 - 2rR = 0 Rightarrow r = R2 e encontrar onde ele atinge seu valor máximo.
A expressão para E(R2) = rho03 varepsilon0 (R2 - (R2)^2R) = rho03 varepsilon0 (R2 - R4) = rho03 varepsilon0 cdot R4 = rho0 R12 varepsilon0 é:
Para encontrar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Então, o campo elétrico atinge seu máximo em . Calculando :

Resposta

A carga total contida na distribuição é . O campo elétrico para é , e para é . O campo elétrico atinge seu valor máximo em , com .

Exercícios relacionados