Beleza, vamos resolver esse exercício sobre distribuição de carga esférica não uniforme. A gente vai precisar usar conceitos de densidade de carga, integração para encontrar a carga total e a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico em diferentes regiões. Vamos por partes para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total contida na distribuição. A densidade de carga é dada por:
E zero para . Para achar a carga total , integramos a densidade de carga sobre todo o volume da esfera:
Passo 3
Vamos calcular essa integral passo a passo. Substituindo :
Integrando termo a termo:
Ops! Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos recalcular.
Avaliar corretamente:
Na verdade, a carga total não pode ser zero se é positivo. Vamos verificar a expressão original da densidade.
Parece que houve um engano na interpretação da densidade. Vamos revisar:
Para que a densidade seja positiva, devemos ter , o que implica . Portanto, a densidade é zero para .
Então, a carga total será:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral correta:
Simplificando:
Calculando os termos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos determinar o campo elétrico nas diferentes regiões usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
Para uma distribuição esférica, o campo elétrico depende apenas da distância do centro.
(b) Para :
Toda a carga está dentro da superfície gaussiana. Então,