Uma distribuição de carga esfericamente simétrica, porém não uniforme, possui uma densidade dada por:
Em que é uma constante positiva. (a) Calcule a carga total contida na distribuição de cargas. Obtenha uma expressão para o campo elétrico na região (b) ; © ; (d) Faça um gráfico do módulo do campo elétrico E em função de r para o qual o campo elétrico atinge seu valor máximo e calcule o valor desse campo elétrico máximo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre distribuição de carga esférica não uniforme. A gente vai precisar usar conceitos de densidade de carga, integração para encontrar a carga total e a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico em diferentes regiões. Vamos por partes para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total contida na distribuição. A densidade de carga é dada por:
E zero para . Para achar a carga total , integramos a densidade de carga sobre todo o volume da esfera:

Passo 3

Vamos calcular essa integral passo a passo. Substituindo :
Integrando termo a termo:
Ops! Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos recalcular.
Avaliar corretamente:
Na verdade, a carga total não pode ser zero se é positivo. Vamos verificar a expressão original da densidade.
Parece que houve um engano na interpretação da densidade. Vamos revisar:
Para que a densidade seja positiva, devemos ter , o que implica . Portanto, a densidade é zero para .
Então, a carga total será:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral correta:
Simplificando:
Calculando os termos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos determinar o campo elétrico nas diferentes regiões usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
Para uma distribuição esférica, o campo elétrico depende apenas da distância do centro.
(b) Para :
Toda a carga está dentro da superfície gaussiana. Então,
Substituindo :
© Para :
Só consideramos a carga dentro do raio :
Calculando a integral:
Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 6

Por último, vamos fazer um gráfico do módulo do campo elétrico em função de e encontrar onde ele atinge seu valor máximo.
A expressão para é:
Para encontrar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Então, o campo elétrico atinge seu máximo em . Calculando :

Resposta

A carga total contida na distribuição é . O campo elétrico para é , e para é . O campo elétrico atinge seu valor máximo em , com .

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