Uma distribuição de carga esfericamente simétrica, porém não uniforme, possui uma densidade dada por:
Em que
é uma constante positiva. (a) Calcule a carga total contida na distribuição de cargas. Obtenha uma expressão para o campo elétrico na região (b)
; ©
; (d) Faça um gráfico do módulo do campo elétrico E em função de r para o qual o campo elétrico atinge seu valor máximo e calcule o valor desse campo elétrico máximo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre distribuição de carga esférica não uniforme. A gente vai precisar usar conceitos de densidade de carga, integração para encontrar a carga total e a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico em diferentes regiões. Vamos por partes para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total contida na distribuição. A densidade de carga é dada por:
E zero para
. Para achar a carga total
, integramos a densidade de carga sobre todo o volume da esfera:
Passo 3
Vamos calcular essa integral passo a passo. Substituindo
:
Integrando termo a termo:
Ops! Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos recalcular.
Avaliar corretamente:
Na verdade, a carga total não pode ser zero se
é positivo. Vamos verificar a expressão original da densidade.
Parece que houve um engano na interpretação da densidade. Vamos revisar:
Para que a densidade seja positiva, devemos ter
, o que implica
. Portanto, a densidade é zero para
.
Então, a carga total será:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral correta:
Simplificando:
Calculando os termos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos determinar o campo elétrico nas diferentes regiões usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
Para uma distribuição esférica, o campo elétrico
depende apenas da distância
do centro.
(b) Para
:
Toda a carga
está dentro da superfície gaussiana. Então,
Substituindo
:
© Para
:
Só consideramos a carga dentro do raio
:
Calculando a integral:
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 6
Por último, vamos fazer um gráfico do módulo do campo elétrico
em função de
e encontrar onde ele atinge seu valor máximo.
A expressão para
é:
Para encontrar o máximo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Então, o campo elétrico atinge seu máximo em
. Calculando
:
Resposta
A carga total contida na distribuição é
. O campo elétrico para
é
, e para
é
. O campo elétrico atinge seu valor máximo em
, com
.