Uma distribuição de carga linear em forma de semicírculo de raio
existe no plano
com centro na origem. Considerando que sua densidade de carga seja
para
, determine o campo elétrico
no centro do semicírculo. (2,5pto)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar o campo elétrico
no centro de um semicirculo carregado. A distribuição de carga é linear, com densidade
, e o semicirculo tem raio
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por distribuições de carga e integração de vetores, considerando a simetria da situação.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em uma pequena parte do semicirculo, um elemento de comprimento
, que tem uma carga
. Como o semicirculo tem raio
, podemos expressar
em termos do ângulo
:
.
Passo 3
O campo elétrico gerado por esse elemento de carga
no centro do semicirculo pode ser dado por:
Aqui,
é o vetor unitário na direção do campo elétrico. No nosso caso, como estamos no centro, o campo estará na direção radial.
Passo 4
Agora, precisamos considerar as componentes do campo elétrico. Devido à simetria do semicirculo, as componentes horizontais (ao longo do eixo x) vão se cancelar, e apenas as componentes verticais (ao longo do eixo y) vão somar.
Passo 5
A componente vertical de
é:
Passo 6
Para encontrar o campo total
, vamos integrar
de
a
:
Resposta
O campo elétrico no centro do semicirculo é: