Uma distribuição de carga linear em forma de semicírculo de raio a existe no plano x y com centro na origem. Considerando que sua densidade de carga seja rhoL para 0 pi, determine o campo elétrico barE no centro do semicírculo. (2,5pto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar o campo elétrico barE no centro de um semicirculo carregado. A distribuição de carga é linear, com densidade rhoL, e o semicirculo tem raio a. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por distribuições de carga e integração de vetores, considerando a simetria da situação.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em uma pequena parte do semicirculo, um elemento de comprimento dl, que tem uma carga dq = rhoL , dl. Como o semicirculo tem raio a, podemos expressar dl em termos do ângulo phi: dl = a , dphi.

Passo 3

O campo elétrico gerado por esse elemento de carga dq no centro do semicirculo pode ser dado por:
dbarE = 14piepsilon0 dqa^2 r
Aqui, r é o vetor unitário na direção do campo elétrico. No nosso caso, como estamos no centro, o campo estará na direção radial.

Passo 4

Agora, precisamos considerar as componentes do campo elétrico. Devido à simetria do semicirculo, as componentes horizontais (ao longo do eixo x) vão se cancelar, e apenas as componentes verticais (ao longo do eixo y) vão somar.

Passo 5

A componente vertical de dbarE é:
dEy = dbarE cdot sinphi = 14piepsilon0 rhoL a dphia^2 sinphi = rhoL4piepsilon0 a sinphi , dphi

Passo 6

Para encontrar o campo total Ey, vamos integrar dEy de phi = 0 a phi = pi:
Ey = integral0^pi rhoL4piepsilon0 a sinphi , dphi = rhoL4piepsilon0 a [ -cosphi ]0^pi = rhoL4piepsilon0 a ( -cospi + cos0 ) = rhoL4piepsilon0 a (2)

Resposta

O campo elétrico no centro do semicirculo é:
barE = rhoL2piepsilon0 a y

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