Uma linha finita de comprimento
está uniformemente carregada com densidade linear de carga
. Determine o campo elétrico em um ponto localizado no eixo perpendicular ao centro da linha.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma linha finita com comprimento $ L $ que está carregada de forma uniforme, ou seja, com uma densidade linear de carga $ \lambda $. A missão é descobrir qual é o campo elétrico num ponto que está no eixo perpendicular ao centro dessa linha. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Eletrostática, especialmente sobre como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a situação: temos uma linha reta de comprimento $ L $ com carga distribuída uniformemente. Queremos achar o campo elétrico em um ponto $ P $ que está no meio dessa linha, no eixo perpendicular. Para facilitar, vamos colocar a linha no eixo $ x $, com o ponto $ P $ no eixo $ y $ a uma distância $ d $ do centro.
Passo 3
Agora, vamos considerar um pedacinho bem pequeno da linha, que a gente chama de $ dx $. A carga desse pedacinho será $ dq = \lambda , dx $. O campo elétrico gerado por esse $ dq $ no ponto $ P $ pode ser calculado usando a lei de Coulomb:
onde $ k $ é a constante eletrostática e $ r $ é a distância entre $ dq $ e $ P $.
Passo 4
Mas, como a linha é simétrica, os componentes do campo elétrico que ficam na direção $ x $ vão se cancelar, ficando só a componente na direção $ y $. Então, vamos focar nessa componente $ dE_y $:
onde $ \theta $ é o ângulo entre $ r $ e o eixo $ y $. Usando trigonometria, temos $ \sin(\theta) = \frac{d}{r} $.
Passo 5
Agora, vamos integrar todo esse campo de $ x = -\frac{L}{2} $ até $ x = \frac{L}{2} $:
Resolvendo a integral, obtemos:
Resposta
O campo elétrico no ponto $ P $ é dado por: