Distribuição de cargas em uma esfera condutora. Seja uma esfera condutora de raio a com uma q. Utilize a lei de Gauss para encontrar o campo E nos pontos: (a) r>a e (b) r.
Resp. (a) E=(q / 4 pi varepsilon0 r^2) r e (b) E=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera condutora de raio $ a $ carregada com uma carga $ q $. A questão pede pra gente usar a Lei de Gauss para descobrir como o campo elétrico $ \vec{E} $ se comporta em dois lugares diferentes: quando o ponto está fora da esfera ($ r > a a á r < a $). Vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela é uma ferramenta poderosa da eletrostática que relaciona o fluxo do campo elétrico $ \vec{E} $ através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) com a carga total dentro dessa superfície. A fórmula da Lei de Gauss é:
E í
Aqui, $ \oint $ representa a integral de superfície, $ \vec{E} $ é o campo elétrico, $ d\vec{A} $ é um elemento de área da superfície, $ Q_{dentro} $ é a carga total dentro da superfície gaussiana, e $ \varepsilon_{0} $ é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos começar pelo caso (a) onde $ r > a $, ou seja, o ponto está fora da esfera condutora. Para facilitar os cálculos, escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raio $ r $ centrada na mesma posição que a esfera condutora.

Passo 4

Como a esfera gaussiana é simétrica e o campo elétrico $ \vec{E} $ tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície e é radial (aponta para fora ou para dentro), podemos simplificar a integral da Lei de Gauss. A integral fica:
E
Aqui, $ 4\pi r^{2} $ é a área da superfície de uma esfera de raio $ r $, e $ E $ é a magnitude do campo elétrico que queremos encontrar.

Passo 5

Sabemos que a carga total dentro da superfície gaussiana é $ Q_{dentro} = q $. Aplicando a Lei de Gauss:
Qdentro = q
Agora, isolando $ E $:
E cdot 4pi r^2 = qvarepsilon0

Passo 6

Isso nos dá a expressão do campo elétrico fora da esfera ($ r > a $). O campo é radial e diminui com o quadrado da distância.

Passo 7

Agora vamos para o caso (b) onde $ r < a $, ou seja, o ponto está dentro da esfera condutora. Como a esfera é condutora, as cargas se distribuem somente na superfície. Isso significa que não há carga dentro do condutor.

Passo 8

Escolhemos novamente uma superfície gaussiana esférica de raio $ r < a $. A carga total dentro dessa superfície é $ Q_{dentro} = 0 $ porque todas as cargas estão na superfície da esfera condutora.

Passo 9

Aplicando a Lei de Gauss novamente:
E cdot 4pi r^2 = 0varepsilon0 implies E = 0

Resposta

(a) Para $ r > a $, o campo elétrico é $ \vec{E} = \left( \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_{0} r^{2}} \right) \hat{r} $.
(b) Para $ r < a $, o campo elétrico é $ \vec{E} = 0 $.

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