Distribuição de cargas em uma esfera condutora. Seja uma esfera condutora de raio
com uma
. Utilize a lei de Gauss para encontrar o campo
nos pontos: (a)
e (b)
.
Resp. (a)
e (b)
Resp. (a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera condutora de raio $ a $ carregada com uma carga $ q $. A questão pede pra gente usar a Lei de Gauss para descobrir como o campo elétrico $ \vec{E} $ se comporta em dois lugares diferentes: quando o ponto está fora da esfera ($ r > a
r < a $). Vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela é uma ferramenta poderosa da eletrostática que relaciona o fluxo do campo elétrico $ \vec{E} $ através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) com a carga total dentro dessa superfície. A fórmula da Lei de Gauss é:
Aqui, $ \oint $ representa a integral de superfície, $ \vec{E} $ é o campo elétrico, $ d\vec{A} $ é um elemento de área da superfície, $ Q_{dentro} $ é a carga total dentro da superfície gaussiana, e $ \varepsilon_{0} $ é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos começar pelo caso (a) onde $ r > a $, ou seja, o ponto está fora da esfera condutora. Para facilitar os cálculos, escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raio $ r $ centrada na mesma posição que a esfera condutora.
Passo 4
Como a esfera gaussiana é simétrica e o campo elétrico $ \vec{E} $ tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície e é radial (aponta para fora ou para dentro), podemos simplificar a integral da Lei de Gauss. A integral fica:
Aqui, $ 4\pi r^{2} $ é a área da superfície de uma esfera de raio $ r $, e $ E $ é a magnitude do campo elétrico que queremos encontrar.
Passo 5
Sabemos que a carga total dentro da superfície gaussiana é $ Q_{dentro} = q $. Aplicando a Lei de Gauss:
Agora, isolando $ E $:
Passo 6
Isso nos dá a expressão do campo elétrico fora da esfera ($ r > a $). O campo é radial e diminui com o quadrado da distância.
Passo 7
Agora vamos para o caso (b) onde $ r < a $, ou seja, o ponto está dentro da esfera condutora. Como a esfera é condutora, as cargas se distribuem somente na superfície. Isso significa que não há carga dentro do condutor.
Passo 8
Escolhemos novamente uma superfície gaussiana esférica de raio $ r < a $. A carga total dentro dessa superfície é $ Q_{dentro} = 0 $ porque todas as cargas estão na superfície da esfera condutora.
Passo 9
Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Resposta
(a) Para $ r > a $, o campo elétrico é $ \vec{E} = \left( \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_{0} r^{2}} \right) \hat{r} $.
(b) Para $ r < a $, o campo elétrico é $ \vec{E} = 0 $.