Sabe-se que uma partícula se move no plano xy e sua posição é dada por r(t)=2 t^2 i+ (4 t+3) j, com t em segundos e r em metros.
(b) O vetor aceleração é constante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move no plano xy, e a posição dela em função do tempo é dada por . O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas de vetores para encontrar a aceleração. Vamos precisar derivar a posição para achar a velocidade e depois derivar a velocidade para achar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade v(t) = dr(t)dt , que é a primeira derivada da posição ddt(2 t^2) = 4t em relação ao tempo ddt(4 t + 3) = 4 . A fórmula geral para a velocidade é:
v(t) = 4t i + 4 j
Então, derivando cada componente:
Para a componente :
Para a componente :
Assim, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração a(t) = dv(t)dt , que é a segunda derivada da posição ou a primeira derivada da velocidade ddt(4t) = 4 em relação ao tempo ddt(4) = 0 . A fórmula é:
a(t) = 4 i + 0 j = 4 i
Derivando cada componente da velocidade:
Para a componente :
Para a componente :
Então, a aceleração é:

Resposta

Sim, o vetor aceleração é constante e igual a metros por segundo ao quadrado.

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