Uma distribuição de cargas esfericamente simétrica, porém não uniforme, possui uma densidade dada por:
em que é uma constante positiva. a) Mostre que a carga total contida na distribuição é igual a . b) Demonstre que o campo elétrico na região é idêntico ao campo elétrico produzido por uma carga puntiforme , situada em ) Obtenha uma expressão para o campo elétrico na região . d) Faça um gráfico do módulo do campo elétrico E em função de . e) Encontre o valor de para o qual o campo elétrico atinge seu valor máximo e calcule o valor desse campo elétrico máximo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma distribuição de carga que é simétrica esfericamente, mas não é uniforme. A densidade de carga ρ depende da distância ao centro, r, e é dada por:
Onde é uma constante positiva. Precisamos resolver várias partes desse problema, envolvendo conceitos de densidade de carga, carga total, campo elétrico em diferentes regiões e encontrar pontos específicos onde o campo atinge valores máximos. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss e integrar a densidade de carga para achar a carga total.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): Mostrar que a carga total contida nessa distribuição é igual a .
Para encontrar a carga total, precisamos integrar a densidade de carga ρ sobre todo o volume da esfera de raio R.
A carga total é dada por:
Como a distribuição é esfericamente simétrica, usamos coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é .
Substituindo a expressão de ρ:
Agora, vamos resolver essa integral.
Passo 3
Vamos calcular a integral:
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Passo 4
Calculando as integrais:
Para :
Para :
Substituindo de volta na expressão de :
Passo 5
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Então, temos:
Passo 6
Sabemos que . Vamos substituir isso na expressão de :
Resposta
Portanto, mostramos que a carga total contida na distribuição é igual a .