Uma distribuição de cargas esfericamente simétrica, porém não uniforme, possui uma densidade rho(r) dada por:
r rho=rho0(1-rR), para r <= R rho=0, para r >= R
em que rho0=3 Q / pi R^3 é uma constante positiva. a) Mostre que a carga total contida na distribuição é igual a Q. b) Demonstre que o campo elétrico na região r >= R é idêntico ao campo elétrico produzido por uma carga puntiforme Q, situada em r=0, c ) Obtenha uma expressão para o campo elétrico na região r <= R. d) Faça um gráfico do módulo do campo elétrico E em função de r. e) Encontre o valor de r para o qual o campo elétrico atinge seu valor máximo e calcule o valor desse campo elétrico máximo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma distribuição de carga que é simétrica esfericamente, mas não é uniforme. A densidade de carga ρ depende da distância ao centro, r, e é dada por:
rho = rho0(1 - rR), para r <= R rho = 0, para r >= R
Onde rho0 = 3Qpi R^3 é uma constante positiva. Precisamos resolver várias partes desse problema, envolvendo conceitos de densidade de carga, carga total, campo elétrico em diferentes regiões e encontrar pontos específicos onde o campo atinge valores máximos. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss e integrar a densidade de carga para achar a carga total.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): Mostrar que a carga total contida nessa distribuição é igual a Q.
Para encontrar a carga total, precisamos integrar a densidade de carga ρ sobre todo o volume da esfera de raio R.
A carga total Qtotal é dada por:
Qtotal = integral rho , dV
Como a distribuição é esfericamente simétrica, usamos coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dV = 4pi r^2 dr.
Substituindo a expressão de ρ:
Qtotal = integral0^R rho0(1 - rR) 4pi r^2 dr
Agora, vamos resolver essa integral.

Passo 3

Vamos calcular a integral:
Qtotal = 4pi rho0 integral0^R (1 - rR) r^2 dr
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
(1 - rR) r^2 = r^2 - r^3R
Então, a integral fica:
Qtotal = 4pi rho0 ( integral0^R r^2 dr - 1R integral0^R r^3 dr )
Agora, vamos resolver cada uma das integrais separadamente.

Passo 4

Calculando as integrais:
  1. Para integral0^R r^2 dr:
integral r^2 dr = r^33 g|0^R = R^33
  1. Para integral0^R r^3 dr:
integral r^3 dr = r^44 g|0^R = R^44
Substituindo de volta na expressão de Qtotal:
Qtotal = 4pi rho0 ( R^33 - 1R cdot R^44 ) = 4pi rho0 ( R^33 - R^34 )

Passo 5

Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
R^33 - R^34 = R^3 ( 13 - 14 ) = R^3 ( 4 - 312 ) = R^3 ( 112 ) = R^312
Então, temos:
Qtotal = 4pi rho0 cdot R^312 = 4pi rho0 R^312 = pi rho0 R^33

Passo 6

Sabemos que rho0 = 3Qpi R^3. Vamos substituir isso na expressão de Qtotal:
Qtotal = pi ( 3Qpi R^3 ) R^33 = pi cdot 3Qpi R^3 cdot R^33 = 3Q3 = Q

Resposta

Portanto, mostramos que a carga total contida na distribuição é igual a Q.

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