As duas ondas a seguir propagam-se em sentidos opostos em uma corda horizontal, criando uma onda estacionária em um plano vertical:
em que
está em metros e
em segundos.
a) Obtenha a onda resultante. Esta onda é progressiva ou estacionária?
a) Obtenha a onda resultante. Esta onda é progressiva ou estacionária?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas ondas que se propagam em sentidos opostos em uma corda, formando uma onda estacionária. As equações das ondas são dadas por:
Queremos encontrar a onda resultante dessa combinação e determinar se ela é uma onda progressiva ou estacionária. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de adição de ondas e entender o conceito de onda estacionária.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a soma de duas ondas senoidais com a mesma amplitude e frequência, mas sentidos de propagação opostos, pode ser expressa usando a identidade trigonométrica de soma de senos. A fórmula é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à soma das duas ondas:
Fatorando a amplitude comum:
Passo 4
Aplicando a identidade trigonométrica mencionada:
Simplificando os argumentos:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão:
Como o cosseno é uma função par,
, então:
Passo 6
Essa forma da onda resultante mostra que ela é uma onda estacionária, pois pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de
e outra que depende apenas de
. Ou seja, não está se movendo ao longo da corda, mas apresenta pontos fixos chamados nós e ventres.
Resposta
A onda resultante é:
Esta é uma onda estacionária.