As duas ondas a seguir propagam-se em sentidos opostos em uma corda horizontal, criando uma onda estacionária em um plano vertical:
& y1(x, t)=(6 mm) sin (4 pi x-400 pi t) & y2(x, t)=(6 mm) sin (4 pi x+400 pi t)
em que x está em metros e t em segundos.
a) Obtenha a onda resultante. Esta onda é progressiva ou estacionária?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas ondas que se propagam em sentidos opostos em uma corda, formando uma onda estacionária. As equações das ondas são dadas por:
& y1(x, t)=(6 mm) sin (4 pi x - 400 pi t) & y2(x, t)=(6 mm) sin (4 pi x + 400 pi t)
Queremos encontrar a onda resultante dessa combinação e determinar se ela é uma onda progressiva ou estacionária. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de adição de ondas e entender o conceito de onda estacionária.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a soma de duas ondas senoidais com a mesma amplitude e frequência, mas sentidos de propagação opostos, pode ser expressa usando a identidade trigonométrica de soma de senos. A fórmula é:
sin A + sin B = 2 sin ( A + B2 ) cos ( A - B2 )
Aqui, e .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à soma das duas ondas:
yresu
Fatorando a amplitude comum:
yresu

Passo 4

Aplicando a identidade trigonométrica mencionada:
yresu
Simplificando os argumentos:
(4pi x - 400pi t) + (4pi x + 400pi t)2 = 8pi x2 = 4pi x
(4pi x - 400pi t) - (4pi x + 400pi t)2 = -800pi t2 = -400pi t

Passo 5

Substituindo de volta na expressão:
yresu
Como o cosseno é uma função par, yresu, então:

Passo 6

Essa forma da onda resultante mostra que ela é uma onda estacionária, pois pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de e outra que depende apenas de . Ou seja, não está se movendo ao longo da corda, mas apresenta pontos fixos chamados nós e ventres.

Resposta

A onda resultante é:
yresu
Esta é uma onda estacionária.

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