Uma distribuição esférica de carga com raio R é descrita pela densidade volumar: rho(r)=rho0 e^-alpha ralpha r, entre 0, onde r é a distância radial ao centro desta distribuição, rho0 e alpha duas constantes. Determine (a) a carga total associada.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre distribuição de carga em uma esfera. O problema nos dá a densidade volumar de carga para , onde é a distância do centro da esfera. Nosso objetivo é encontrar a carga total associada a essa distribuição.

Passo 2

Para encontrar a carga total Q = integral rho(r) , dV , precisamos integrar a densidade volumar sobre todo o volume da esfera. A fórmula geral para a carga total é:

Passo 3

Usaremos coordenadas esféricas para simplificar a integração, já que a distribuição é esfericamente simétrica. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume dV = 4pi r^2 , dr é dado por:

Passo 4

Substituindo Q = integral0^R rho0 e^-alpha ralpha r cdot 4pi r^2 , dr e na integral, temos:

Passo 5

Simplificando a expressão, cancelamos um Q = 4pi rho0alpha integral0^R r e^-alpha r , dr no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral integral r e^-alpha r , dr = -ralpha e^-alpha r - 1alpha^2 e^-alpha r + C . Podemos resolver essa integral por partes ou usar uma integral conhecida:

Passo 7

Avaliando a integral de [ -Ralpha e^-alpha R - 1alpha^2 e^-alpha R ] - [ 0 - 1alpha^2 ] = -( Ralpha + 1alpha^2 ) e^-alpha R + 1alpha^2 a :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão para Q = 4pi rho0alpha ( 1alpha^2 - ( Ralpha + 1alpha^2 ) e^-alpha R ) :

Resposta

A carga total associada é:
Q = 4pi rho0alpha ( 1alpha^2 - ( Ralpha + 1alpha^2 ) e^-alpha R )

Exercícios relacionados