Uma distribuição esférica de carga com raio é descrita pela densidade volumar: , entre , onde é a distância radial ao centro desta distribuição, e duas constantes. Determine (a) a carga total associada.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre distribuição de carga em uma esfera. O problema nos dá a densidade volumar de carga para , onde é a distância do centro da esfera. Nosso objetivo é encontrar a carga total associada a essa distribuição.

Passo 2

Para encontrar a carga total , precisamos integrar a densidade volumar sobre todo o volume da esfera. A fórmula geral para a carga total é:

Passo 3

Usaremos coordenadas esféricas para simplificar a integração, já que a distribuição é esfericamente simétrica. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por:

Passo 4

Substituindo e na integral, temos:

Passo 5

Simplificando a expressão, cancelamos um no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral . Podemos resolver essa integral por partes ou usar uma integral conhecida:

Passo 7

Avaliando a integral de a :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A carga total associada é:

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Num experimento projetado para se tentar observar a difração de partículas microscópicas elétrons com energia cinética de serão direcionados a um objeto que atuará efetivamente como uma parede com uma fenda de largura . Após atravessar a fenda os elétrons são registrados em um anteparo após percorrerem uma distância de alguns metros.
b) Dada a largura da fenda e o comprimento de onda de Broglie obtido no item anterior, seria possível observar o fenômeno de difração nesse experimento? Explique sua resposta. Resp:
Os núcleos atômicos são também sistemas quânticos com níveis de energia discretos. Um estado excitado de um certo núcleo tem uma meia vida de , aproximadamente. Considerando que este tempo é a incerteza para a emissão de um fótons, use a relação para calcular a menor incerteza na frequência, , do fóton emitido. Calcule a incerteza relativa, , quando o comprimento de onda dos fótons emitidos é . Resp:
Uma distribuição esférica de carga com raio é descrita pela densidade volumar: , entre , onde é a distância radial ao centro desta distribuição, e duas constantes. Determine © o potencial elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.
Uma distribuição esférica de carga com raio é descrita pela densidade volumar: , entre , onde é a distância radial ao centro desta distribuição, e duas constantes. Determine (b) a intensidade do campo elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.