Uma distribuição esférica de carga com raio
é descrita pela densidade volumar:
, entre
, onde
é a distância radial ao centro desta distribuição,
e
duas constantes. Determine (a) a carga total associada.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre distribuição de carga em uma esfera. O problema nos dá a densidade volumar de carga
para
, onde
é a distância do centro da esfera. Nosso objetivo é encontrar a carga total associada a essa distribuição.
Passo 2
Para encontrar a carga total
, precisamos integrar a densidade volumar
sobre todo o volume da esfera. A fórmula geral para a carga total é:
Passo 3
Usaremos coordenadas esféricas para simplificar a integração, já que a distribuição é esfericamente simétrica. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume
é dado por:
Passo 4
Substituindo
e
na integral, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão, cancelamos um
no numerador e denominador:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral
. Podemos resolver essa integral por partes ou usar uma integral conhecida:
Passo 7
Avaliando a integral de
a
:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
A carga total associada é:
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Uma distribuição esférica de carga com raio
é descrita pela densidade volumar:
, entre
, onde
é a distância radial ao centro desta distribuição,
e
duas constantes. Determine © o potencial elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.
Uma distribuição esférica de carga com raio
é descrita pela densidade volumar:
, entre
, onde
é a distância radial ao centro desta distribuição,
e
duas constantes. Determine (b) a intensidade do campo elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.