Os núcleos atômicos são também sistemas quânticos com níveis de energia discretos. Um estado excitado de um certo núcleo tem uma meia vida de , aproximadamente. Considerando que este tempo é a incerteza para a emissão de um fótons, use a relação para calcular a menor incerteza na frequência, , do fóton emitido. Calcule a incerteza relativa, , quando o comprimento de onda dos fótons emitidos é . Resp:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre núcleos atômicos, que são sistemas quânticos com níveis de energia discretos. Temos um estado excitado de um núcleo que tem uma meia-vida de segundos. Queremos usar a relação da incerteza de Heisenberg, , para calcular a menor incerteza na frequência do fóton emitido. Depois, vamos achar a incerteza relativa quando o comprimento de onda dos fótons emitidos é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação de incerteza de Heisenberg:
Aqui, é a incerteza na energia e é a incerteza no tempo. é a constante reduzida de Planck, que vale aproximadamente .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar , a incerteza na frequência do fóton. Sabemos que a energia de um fóton está relacionada à sua frequência pela equação:
Onde é a constante de Planck ( ) e é a frequência. Assim, a incerteza na energia está relacionada à incerteza na frequência por:

Passo 4

Vamos usar a relação de incerteza de Heisenberg para encontrar . Substituindo na equação, temos:
Queremos isolar , então:
Sabemos que , assim:

Passo 5

Agora, substituímos na equação:
Portanto, a menor incerteza na frequência é aproximadamente .

Passo 6

Agora, vamos calcular a incerteza relativa . Primeiro, precisamos encontrar a frequência do fóton com comprimento de onda .
Usamos a relação entre velocidade da luz , frequência e comprimento de onda :
Sabendo que e :

Passo 7

Finalmente, calculamos a incerteza relativa:

Resposta

A incerteza relativa é .

Exercícios relacionados

Num aparelho de televisão os elétrons são acelerados por um potencial de 20 kV . Qual é o comprimento de onda de de Broglie destes elétrons?
Resp:
Considerando estes diferentes casos, determine o comprimento de onda de de Broglie
i) Para uma bola de futebol se movimentando com uma velocidade de .
ii) Para um elétron com energia cinética de 100 eV .
iii) Para uma partícula subatômica que se move com velocidade próxima a da luz e tem energia total . [Dica: Para determinar o momento no caso de uma partícula que se move a uma velocidade próxima a da luz (energia cinética muito maior que a energia de repouso), pode-se considerar a aproximação relativística na qual o momento é determinado como ].
Baseado nos seus resultado vistos acima, explique se é possível observarmos efeitos de difração e interferência para tais objetos utilizando fendas ou outros experimentos que evidenciam o seu caráter ondulatório?
Resp: i) ii) iii)
Num experimento projetado para se tentar observar a difração de partículas microscópicas elétrons com energia cinética de serão direcionados a um objeto que atuará efetivamente como uma parede com uma fenda de largura . Após atravessar a fenda os elétrons são registrados em um anteparo após percorrerem uma distância de alguns metros.
b) Dada a largura da fenda e o comprimento de onda de Broglie obtido no item anterior, seria possível observar o fenômeno de difração nesse experimento? Explique sua resposta. Resp:
Uma distribuição esférica de carga com raio é descrita pela densidade volumar: , entre , onde é a distância radial ao centro desta distribuição, e duas constantes. Determine (a) a carga total associada.