Os núcleos atômicos são também sistemas quânticos com níveis de energia discretos. Um estado excitado de um certo núcleo tem uma meia vida de
, aproximadamente. Considerando que este tempo é a incerteza
para a emissão de um fótons, use a relação
para calcular a menor incerteza na frequência,
, do fóton emitido. Calcule a incerteza relativa,
, quando o comprimento de onda dos fótons emitidos é
. Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre núcleos atômicos, que são sistemas quânticos com níveis de energia discretos. Temos um estado excitado de um núcleo que tem uma meia-vida de
segundos. Queremos usar a relação da incerteza de Heisenberg,
, para calcular a menor incerteza na frequência
do fóton emitido. Depois, vamos achar a incerteza relativa
quando o comprimento de onda dos fótons emitidos é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação de incerteza de Heisenberg:
Aqui,
é a incerteza na energia e
é a incerteza no tempo.
é a constante reduzida de Planck, que vale aproximadamente
.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
, a incerteza na frequência do fóton. Sabemos que a energia de um fóton está relacionada à sua frequência pela equação:
Onde
é a constante de Planck (
) e
é a frequência. Assim, a incerteza na energia
está relacionada à incerteza na frequência
por:
Passo 4
Vamos usar a relação de incerteza de Heisenberg para encontrar
. Substituindo
na equação, temos:
Queremos isolar
, então:
Sabemos que
, assim:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação:
Portanto, a menor incerteza na frequência é aproximadamente
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a incerteza relativa
. Primeiro, precisamos encontrar a frequência
do fóton com comprimento de onda
.
Usamos a relação entre velocidade da luz
, frequência
e comprimento de onda
:
Sabendo que
e
:
Passo 7
Finalmente, calculamos a incerteza relativa:
Resposta
A incerteza relativa é
.
Exercícios relacionados
Num aparelho de televisão os elétrons são acelerados por um potencial de 20 kV . Qual é o comprimento de onda de de Broglie destes elétrons?
Resp:
Resp:
Considerando estes diferentes casos, determine o comprimento de onda de de Broglie
i) Para uma bola de futebol se movimentando com uma velocidade de
.
ii) Para um elétron com energia cinética de 100 eV .
iii) Para uma partícula subatômica que se move com velocidade próxima a da luz e tem energia total . [Dica: Para determinar o momento no caso de uma partícula que se move a uma velocidade próxima a da luz (energia cinética muito maior que a energia de repouso), pode-se considerar a aproximação relativística na qual o momento é determinado como
].
Baseado nos seus resultado vistos acima, explique se é possível observarmos efeitos de difração e interferência para tais objetos utilizando fendas ou outros experimentos que evidenciam o seu caráter ondulatório?
Resp: i) ii)
iii)
i) Para uma bola de futebol
ii) Para um elétron com energia cinética de 100 eV .
iii) Para uma partícula subatômica que se move com velocidade próxima a da luz e tem energia total
Baseado nos seus resultado vistos acima, explique se é possível observarmos efeitos de difração e interferência para tais objetos utilizando fendas ou outros experimentos que evidenciam o seu caráter ondulatório?
Resp: i)
Num experimento projetado para se tentar observar a difração de partículas microscópicas elétrons com energia cinética de
serão direcionados a um objeto que atuará efetivamente como uma parede com uma fenda de largura
. Após atravessar a fenda os elétrons são registrados em um anteparo após percorrerem uma distância de alguns metros.
b) Dada a largura da fenda e o comprimento de onda de Broglie obtido no item anterior, seria possível observar o fenômeno de difração nesse experimento? Explique sua resposta. Resp:
b) Dada a largura da fenda e o comprimento de onda de Broglie obtido no item anterior, seria possível observar o fenômeno de difração nesse experimento? Explique sua resposta. Resp:
Uma distribuição esférica de carga com raio
é descrita pela densidade volumar:
, entre
, onde
é a distância radial ao centro desta distribuição,
e
duas constantes. Determine (a) a carga total associada.