Uma distribuição esférica de carga com raio
é descrita pela densidade volumar:
, entre
, onde
é a distância radial ao centro desta distribuição,
e
duas constantes. Determine © o potencial elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o potencial elétrico dentro e fora de uma distribuição esférica de carga. A densidade de carga dessa esfera é dada por
para
, onde
é a distância ao centro da esfera, e
e
são constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e, depois, integrar esse campo para obter o potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico dentro e fora da esfera usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga total dentro dessa superfície. Como a distribuição de carga é esférica, faz sentido usar superfícies gaussianas esféricas.
Para
(dentro da esfera), precisamos calcular a carga total dentro do raio
. Isso é feito integrando a densidade de carga sobre o volume:
Resolvendo essa integral, obtemos a carga total dentro de
.
Para
(fora da esfera), toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana, então:
Passo 3
Agora, aplicamos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Com o campo elétrico em mãos, podemos encontrar o potencial elétrico
integrando o campo:
Vamos dividir isso em dois casos:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Finalmente, expressamos o potencial dentro e fora da esfera de forma mais explícita, substituindo
e
pelas integrais resolvidas:
- Potencial fora da esfera (
):
- Potencial dentro da esfera (
):
Depois de resolver as integrais, obtemos as expressões completas para o potencial em ambas as regiões.
Resposta
O potencial elétrico é dado por: