Uma distribuição esférica de carga com raio é descrita pela densidade volumar: , entre , onde é a distância radial ao centro desta distribuição, e duas constantes. Determine © o potencial elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o potencial elétrico dentro e fora de uma distribuição esférica de carga. A densidade de carga dessa esfera é dada por para , onde é a distância ao centro da esfera, e e são constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e, depois, integrar esse campo para obter o potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico dentro e fora da esfera usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga total dentro dessa superfície. Como a distribuição de carga é esférica, faz sentido usar superfícies gaussianas esféricas.
Para (dentro da esfera), precisamos calcular a carga total dentro do raio . Isso é feito integrando a densidade de carga sobre o volume:
Resolvendo essa integral, obtemos a carga total dentro de .
Para (fora da esfera), toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana, então:

Passo 3

Agora, aplicamos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico .
Para :
Para :

Passo 4

Com o campo elétrico em mãos, podemos encontrar o potencial elétrico integrando o campo:
Vamos dividir isso em dois casos:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Finalmente, expressamos o potencial dentro e fora da esfera de forma mais explícita, substituindo e pelas integrais resolvidas:
  • Potencial fora da esfera ( ):
  • Potencial dentro da esfera ( ):
Depois de resolver as integrais, obtemos as expressões completas para o potencial em ambas as regiões.

Resposta

O potencial elétrico é dado por:

Exercícios relacionados

Uma distribuição esférica de carga com raio é descrita pela densidade volumar: , entre , onde é a distância radial ao centro desta distribuição, e duas constantes. Determine (a) a carga total associada.
Num experimento projetado para se tentar observar a difração de partículas microscópicas elétrons com energia cinética de serão direcionados a um objeto que atuará efetivamente como uma parede com uma fenda de largura . Após atravessar a fenda os elétrons são registrados em um anteparo após percorrerem uma distância de alguns metros.
b) Dada a largura da fenda e o comprimento de onda de Broglie obtido no item anterior, seria possível observar o fenômeno de difração nesse experimento? Explique sua resposta. Resp:
Uma distribuição esférica de carga com raio é descrita pela densidade volumar: , entre , onde é a distância radial ao centro desta distribuição, e duas constantes. Determine (b) a intensidade do campo elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.
O potencial elétrico gerado por uma dipolo é dado por:
Determine o campo elétrico e a densidade de carga no ponto .