Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o potencial elétrico dentro e fora de uma distribuição esférica de carga. A densidade de carga dessa esfera é dada por para , onde é a distância ao centro da esfera, e e são constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e, depois, integrar esse campo para obter o potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico dentro e fora da esfera usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga total dentro dessa superfície. Como a distribuição de carga é esférica, faz sentido usar superfícies gaussianas esféricas.
Para (dentro da esfera), precisamos calcular a carga total dentro do raio . Isso é feito integrando a densidade de carga sobre o volume:
Resolvendo essa integral, obtemos a carga total dentro de .
Para (fora da esfera), toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana, então:
Passo 3
Agora, aplicamos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico .
Para :
Para :
Passo 4
Com o campo elétrico em mãos, podemos encontrar o potencial elétrico integrando o campo:
Vamos dividir isso em dois casos:
Para :
Para :
Passo 5
Finalmente, expressamos o potencial dentro e fora da esfera de forma mais explícita, substituindo e pelas integrais resolvidas:
Potencial fora da esfera ():
Potencial dentro da esfera ():
Depois de resolver as integrais, obtemos as expressões completas para o potencial em ambas as regiões.