Uma distribuição esférica de carga com raio R é descrita pela densidade volumar: rho(r)=rho0 e^-alpha ralpha r, entre 0, onde r é a distância radial ao centro desta distribuição, rho0 e alpha duas constantes. Determine © o potencial elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o potencial elétrico dentro e fora de uma distribuição esférica de carga. A densidade de carga dessa esfera é dada por para , onde é a distância ao centro da esfera, e e são constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e, depois, integrar esse campo para obter o potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico dentro e fora da esfera usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga total dentro dessa superfície. Como a distribuição de carga é esférica, faz sentido usar superfícies gaussianas esféricas.
Para Qdentro(r) = integral0^r rho(r') 4pi r'^2 dr' = integral0^r rho0 e^-alpha r'alpha r' 4pi r'^2 dr' = 4pi rho0alpha integral0^r e^-alpha r' r' dr' (dentro da esfera), precisamos calcular a carga total dentro do raio Qtotal = 4pi rho0alpha integral0^R e^-alpha r' r' dr' . Isso é feito integrando a densidade de carga sobre o volume:
Resolvendo essa integral, obtemos a carga total dentro de .
Para (fora da esfera), toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana, então:

Passo 3

Agora, aplicamos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico oint E cdot dA = Qdentro(r)varepsilon0 Rightarrow E(r) cdot 4pi r^2 = Qdentro(r)varepsilon0 Rightarrow E(r) = Qdentro(r)4pi varepsilon0 r^2 .
Para E(r) = Qtotal4pi varepsilon0 r^2 :
Para :

Passo 4

Com o campo elétrico em mãos, podemos encontrar o potencial elétrico V(r) = -integralinfty^r E(r') dr' integrando o campo:
V(r) = Qtotal4pi varepsilon0 r
Vamos dividir isso em dois casos:
  1. Para V(r) = Qtotal4pi varepsilon0 R - integralR^r Qdentro(r')4pi varepsilon0 r'^2 dr' :
  1. Para :

Passo 5

Finalmente, expressamos o potencial dentro e fora da esfera de forma mais explícita, substituindo Vfora(r) = Qtotal4pi varepsilon0 r e Vdentro(r) = Qtotal4pi varepsilon0 R - 14pi varepsilon0 integralR^r Qdentro(r')r'^2 dr' pelas integrais resolvidas:
  • Potencial fora da esfera ( ):
  • Potencial dentro da esfera ( ):
Depois de resolver as integrais, obtemos as expressões completas para o potencial em ambas as regiões.

Resposta

O potencial elétrico é dado por:
V(r) = Qtotal4pi varepsilon0 R (1 - e^-alpha ralpha r) & para r <= R Qtotal4pi varepsilon0 r & para r > R

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