Verifique que as soluções e são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau: . As soluções propostas são e . Nosso objetivo é verificar se essas funções realmente resolvem a equação e se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre derivadas e sobre como verificar se um conjunto de soluções é fundamental, usando o Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que é uma solução da equação diferencial. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de e substituir na equação.
A primeira derivada de é:
A segunda derivada é:
Agora substituímos na equação :
Confere! Então é realmente uma solução.
Passo 3
Agora vamos fazer o mesmo com . Calculamos as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação:
Está tudo certo! Então também é uma solução da equação diferencial.
Passo 4
Agora que sabemos que e são soluções, precisamos verificar se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, usamos o Wronskiano, que nos ajuda a ver se as soluções são linearmente independentes.
O Wronskiano de e é dado por:
Substituindo:
Calculando o determinante:
Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental.
Resposta
Sim, e são soluções da equação diferencial e constituem um conjunto fundamental de soluções.