Verifique que as soluções y1 e y2 são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
(a) y^prime prime+4 y=0 ; y1(t)=cos (2 t), y2(t)=sen(2 t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau: . As soluções propostas são e . Nosso objetivo é verificar se essas funções realmente resolvem a equação e se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre derivadas e sobre como verificar se um conjunto de soluções é fundamental, usando o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que y1'(t) = -2sen(2t) é uma solução da equação diferencial. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de y1''(t) = -4cos(2t) e substituir na equação.
A primeira derivada de -4cos(2t) + 4cos(2t) = 0 é:
A segunda derivada é:
Agora substituímos na equação :
Confere! Então é realmente uma solução.

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo com . Calculamos as derivadas:
Primeira derivada:
y2'(t) = 2cos(2t)
Segunda derivada:
Substituindo na equação:
Está tudo certo! Então y2''(t) = -4sen(2t) também é uma solução da equação diferencial.

Passo 4

Agora que sabemos que W(t) = y1(t) & y2(t) y1'(t) & y2'(t) e W(t) = cos(2t) & sen(2t) -2sen(2t) & 2cos(2t) são soluções, precisamos verificar se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, usamos o Wronskiano, que nos ajuda a ver se as soluções são linearmente independentes.
O Wronskiano W(t) = cos(2t) cdot 2cos(2t) - sen(2t) cdot (-2sen(2t)) = 2cos^2(2t) + 2sen^2(2t) = 2(cos^2(2t) + sen^2(2t)) = 2(1) = 2 de e é dado por:
Substituindo:
Calculando o determinante:
Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental.

Resposta

Sim, e são soluções da equação diferencial e constituem um conjunto fundamental de soluções.

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