Verifique que as soluções e são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau: . As soluções propostas são e . Nosso objetivo é verificar se essas funções realmente resolvem a equação e se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre derivadas e sobre como verificar se um conjunto de soluções é fundamental, usando o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que é uma solução da equação diferencial. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de e substituir na equação.
A primeira derivada de é:
A segunda derivada é:
Agora substituímos na equação :
Confere! Então é realmente uma solução.

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo com . Calculamos as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação:
Está tudo certo! Então também é uma solução da equação diferencial.

Passo 4

Agora que sabemos que e são soluções, precisamos verificar se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, usamos o Wronskiano, que nos ajuda a ver se as soluções são linearmente independentes.
O Wronskiano de e é dado por:
Substituindo:
Calculando o determinante:
Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental.

Resposta

Sim, e são soluções da equação diferencial e constituem um conjunto fundamental de soluções.

Exercícios relacionados

Distribuição com Polinômios de Hermite . Os polinômios de Hermite são dados pela fórmula sendo um inteiro positivo. Considere um conjunto de distribuição de probabilidades . Usando a normalização de , encontre os .
Repita a questão 01 usando uma nova distribuição de probabilidade, dada por válida apenas para e . Em seguida, repita a questão 01 para para .
Estado fundamental do -A função de onda do estado de vácuo (já normalizada) do OHQ é dada por sendo e constantes do problema. Com base nisso, mostre que esse estado tem uma incerteza na posição e momento dada por .
Estime a incerteza no momento linear de um elétron que está em um OHQ (no estado fundamental) se desejarmos obter a sua posição com uma precisão da ordem do raio atômico. Use , sendo o raio de Bohr (procure nas referências o valor exato).