Estado fundamental do -A função de onda do estado de vácuo (já normalizada) do OHQ é dada por sendo e constantes do problema. Com base nisso, mostre que esse estado tem uma incerteza na posição e momento dada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, no estado fundamental do oscilador harmônico , a incerteza na posição ( ) e na quantidade de movimento ( ) são dadas por . Vamos precisar usar a função de onda fornecida e entender um pouco sobre como calcular incertezas em mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a incerteza em uma variável, como a posição , é calculada usando a fórmula:
E similarmente para a quantidade de movimento :
No estado fundamental, sabemos que e , então as incertezas simplificam para:

Passo 3

Vamos calcular usando a função de onda :
Substituindo :
A integral de de a é . Aqui, , então:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Sabemos que na mecânica quântica, o operador de momento é dado por . Então:
Calculando a segunda derivada de e integrando, encontramos:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar as incertezas e :
Isso mostra que o produto das incertezas é exatamente , que é o limite mínimo estabelecido pelo princípio da incerteza de Heisenberg.

Resposta

No estado fundamental do OHQ, as incertezas na posição e na quantidade de movimento satisfazem .

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