Estado fundamental do O H Q-A função de onda do estado de vácuo (já normalizada) do OHQ é dada por psi0(x)=(m omegahbar pi)^1 / 2 e^-m omega x^2 / 2 hbar sendo m, omega e hbar constantes do problema. Com base nisso, mostre que esse estado tem uma incerteza na posição e momento dada por hbar / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, no estado fundamental do oscilador harmônico , a incerteza na posição ( ) e na quantidade de movimento ( ) são dadas por . Vamos precisar usar a função de onda fornecida e entender um pouco sobre como calcular incertezas em mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a incerteza em uma variável, como a posição De, é calculada usando a fórmula:
De
E similarmente para a quantidade de movimento De:
De
No estado fundamental, sabemos que e , então as incertezas simplificam para:

Passo 3

Vamos calcular lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty x^2 |psi0(x)|^2 dx usando a função de onda |psi0(x)|^2 = (m omegahbar pi)^1 e^-m omega x^2 / hbar :
lang<= x^2 rang<= = (m omegahbar pi) cdot raizpi2 (m omegahbar)^3/2 = hbar2 m omega
Substituindo De:
A integral de de a é . Aqui, , então:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular lang<= p^2 rang<= = integral-infty^infty psi0^*(x) (-hbar^2 d^2dx^2) psi0(x) dx . Sabemos que na mecânica quântica, o operador de momento lang<= p^2 rang<= = hbar m omega2 é dado por De. Então:
Calculando a segunda derivada de e integrando, encontramos:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar as incertezas De e :
Isso mostra que o produto das incertezas é exatamente , que é o limite mínimo estabelecido pelo princípio da incerteza de Heisenberg.

Resposta

No estado fundamental do OHQ, as incertezas na posição e na quantidade de movimento satisfazem .

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