Estado fundamental do
-A função de onda do estado de vácuo (já normalizada) do OHQ é dada por
sendo
e
constantes do problema. Com base nisso, mostre que esse estado tem uma incerteza na posição e momento dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, no estado fundamental do oscilador harmônico
, a incerteza na posição (
) e na quantidade de movimento (
) são dadas por
. Vamos precisar usar a função de onda fornecida e entender um pouco sobre como calcular incertezas em mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a incerteza em uma variável, como a posição
, é calculada usando a fórmula:
E similarmente para a quantidade de movimento
:
No estado fundamental, sabemos que
e
, então as incertezas simplificam para:
Passo 3
Vamos calcular
usando a função de onda
:
Substituindo
:
A integral de
de
a
é
. Aqui,
, então:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Sabemos que na mecânica quântica, o operador de momento
é dado por
. Então:
Calculando a segunda derivada de
e integrando, encontramos:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar as incertezas
e
:
Isso mostra que o produto das incertezas é exatamente
, que é o limite mínimo estabelecido pelo princípio da incerteza de Heisenberg.
Resposta
No estado fundamental do OHQ, as incertezas na posição e na quantidade de movimento satisfazem
.
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Verifique que as soluções
e
são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
(a) .
(a)
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. Os polinômios de Hermite são dados pela fórmula
sendo
um inteiro positivo. Considere um conjunto de distribuição de probabilidades
. Usando a normalização de
, encontre os
.
Estime a incerteza no momento linear de um elétron que está em um OHQ (no estado fundamental) se desejarmos obter a sua posição com uma precisão da ordem do raio atômico. Use
, sendo
o raio de Bohr (procure nas referências o valor exato).
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.