Seja
uma função, dada por
. Encontre a direção em que a derivada direcional no ponto
é zero.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função
que vai de
para
. O objetivo aqui é encontrar a direção em que a derivada direcional no ponto
é zero. Vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e gradiente para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função
em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular, a gente usa o gradiente da função, que é um vetor formado pelas derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
A derivada direcional na direção de um vetor
é dada pelo produto escalar do gradiente com
:
Queremos que essa derivada seja zero:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:
Isso significa que
.
Passo 7
Como estamos falando de uma direção, o vetor
pode ser qualquer múltiplo de
. Para representar uma direção, geralmente normalizamos o vetor para que ele tenha comprimento 1.
Então, o vetor direção é:
Resposta
A direção em que a derivada direcional no ponto
é zero é qualquer vetor paralelo a
. Normalizado, fica:
Exercícios relacionados
Uma distribuição de temperatura em um plano é dada pela função
, definida por
No ponto
, encontre a direção de maior crescimento da temperatura e a direção de maior decréscimo da temperatura.
Se
, mostre que
satisfaz a equação diferencial
Encontre a matriz Jacobiana da função
, definida por
, no ponto
.
Mostre que as superfícies dadas pelas equações
são ortogonais em todo ponto de interseção e, além disso, faça um esboço das superfícies e da curva de interseção.