Seja f: R^2 -> R uma função, dada por f(x, y) = 4x^2 + y^2. Encontre a direção em que a derivada direcional no ponto (2,1) é zero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função que vai de para . O objetivo aqui é encontrar a direção em que a derivada direcional no ponto é zero. Vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e gradiente para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular, a gente usa o gradiente da função, que é um vetor formado pelas derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

A derivada direcional na direção de um vetor é dada pelo produto escalar do gradiente com :
Queremos que essa derivada seja zero:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:
Isso significa que .

Passo 7

Como estamos falando de uma direção, o vetor pode ser qualquer múltiplo de . Para representar uma direção, geralmente normalizamos o vetor para que ele tenha comprimento 1.
Então, o vetor direção é:

Resposta

A direção em que a derivada direcional no ponto é zero é qualquer vetor paralelo a . Normalizado, fica:

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