A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma parede unidimensional com condutividade térmica
e espessura
tem a forma
. Desenvolva expressões para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede e para os fluxos térmicos em suas duas superfícies
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a temperatura varia ao longo de uma parede em equilíbrio, ou seja, nada está mudando com o tempo. A equação dada para a temperatura é
. A matéria que vamos usar aqui é a condução de calor, especificamente a Lei de Fourier. Vamos precisar entender como a temperatura muda dentro da parede e como isso se relaciona com a geração de calor e o fluxo térmico nas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede. Para isso, usamos a equação de condução de calor em regime estacionário com geração interna:
Aqui,
é a taxa de geração de calor por unidade de volume e
é a condutividade térmica.
Passo 3
Vamos calcular a segunda derivada da temperatura
em relação a
:
Passo 4
Substituímos a segunda derivada na equação de condução de calor:
Agora, resolvemos para
:
Isso nos dá a expressão para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o fluxo térmico nas superfícies da parede usando a Lei de Fourier:
Primeiro, calculamos
:
Então, o fluxo térmico é:
Passo 6
Vamos calcular o fluxo térmico nas duas superfícies da parede.
Para
:
Para
:
Resposta
A taxa de geração de calor por unidade de volume na parede é
. Os fluxos térmicos nas superfícies são
em
e
em
.