A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma parede unidimensional com condutividade térmica k e espessura L tem a forma T=a x^3+b x^2+c x+d. Desenvolva expressões para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede e para os fluxos térmicos em suas duas superfícies (x=0 e x=L).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a temperatura varia ao longo de uma parede em equilíbrio, ou seja, nada está mudando com o tempo. A equação dada para a temperatura é . A matéria que vamos usar aqui é a condução de calor, especificamente a Lei de Fourier. Vamos precisar entender como a temperatura muda dentro da parede e como isso se relaciona com a geração de calor e o fluxo térmico nas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede. Para isso, usamos a equação de condução de calor em regime estacionário com geração interna:
d^2 Tdx^2 + q''k = 0
Aqui, é a taxa de geração de calor por unidade de volume e é a condutividade térmica.

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada da temperatura dTdx = 3a x^2 + 2b x + c em relação a d^2 Tdx^2 = 6a x + 2b :

Passo 4

Substituímos a segunda derivada na equação de condução de calor:
6a x + 2b + q''k = 0
Agora, resolvemos para q'' = -k (6a x + 2b) :
Isso nos dá a expressão para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o fluxo térmico nas superfícies da parede usando a Lei de Fourier:
q = -k dTdx
Primeiro, calculamos dTdx = 3a x^2 + 2b x + c :
q = -k (3a x^2 + 2b x + c)
Então, o fluxo térmico é:

Passo 6

Vamos calcular o fluxo térmico nas duas superfícies da parede.
Para q(0) = -k (3a cdot 0^2 + 2b cdot 0 + c) = -k c :
q(L) = -k (3a L^2 + 2b L + c)
Para :

Resposta

A taxa de geração de calor por unidade de volume na parede é . Os fluxos térmicos nas superfícies são em e em .

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