A distribuição de velocidade para o escoamento em duas placas fixas paralelas é dada por
Onde h é a distância separando as placas e é a velocidade máxima que ocorre no centro do escoamento. A origem está situada na linha mediana entre as placas. Considerando o escoamento de água ( ) com h e : Informe qual o valor de no centro entre as placas. Justifique. R: ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o fluxo de água entre duas placas paralelas. A gente vai precisar entender um pouco sobre perfil de velocidade em escoamento laminar e como calcular o esforço cortante (τ). Vamos usar a fórmula que te deram para a velocidade e as informações sobre a viscosidade, a distância entre as placas e a velocidade máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a fórmula da distribuição de velocidade que você forneceu:
Aqui, é a velocidade em uma posição entre as placas, é a velocidade máxima no centro, e é a distância entre as placas. A origem está no meio entre as placas.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o esforço cortante (τ) no centro entre as placas. Para isso, usamos a relação entre o esforço cortante, a viscosidade () e o gradiente de velocidade:
Isso significa que o esforço cortante é proporcional à viscosidade do fluido e à taxa de variação da velocidade em relação a .
Passo 4
Precisamos calcular a derivada da velocidade no centro (). Vamos derivar a expressão da velocidade em relação a :
Primeiro, reescrevemos a velocidade:
Agora, derivamos em relação a :
No centro, , então:
Ops! Parece que derivamos algo errado. Vamos refazer:
Na verdade, a derivada correta é:
Mas no centro (), a derivada ainda é zero. Isso sugere que o esforço cortante no centro é zero. No entanto, o valor que você mencionou é diferente, então devemos verificar novamente.
Na realidade, a fórmula correta da derivada é:
Ainda, substituindo :
Isso indica que o esforço cortante no centro é zero, o que está de acordo com o perfil parabólico simétrico típico desse tipo de escoamento.
Parece que houve um mal-entendido no valor fornecido. Vamos considerar que o esforço cortante no centro é realmente zero.
Resposta
No centro entre as placas, o esforço cortante () é igual a ².