A distribuição de velocidade para o escoamento em duas placas fixas paralelas é dada por
Onde h é a distância separando as placas e é a velocidade máxima que ocorre no centro do escoamento. A origem está situada na linha mediana entre as placas. Considerando o escoamento de água ( ) com h e : Informe qual o valor de no centro entre as placas. Justifique. R: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o fluxo de água entre duas placas paralelas. A gente vai precisar entender um pouco sobre perfil de velocidade em escoamento laminar e como calcular o esforço cortante (τ). Vamos usar a fórmula que te deram para a velocidade e as informações sobre a viscosidade, a distância entre as placas e a velocidade máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a fórmula da distribuição de velocidade que você forneceu:
Aqui, é a velocidade em uma posição entre as placas, é a velocidade máxima no centro, e é a distância entre as placas. A origem está no meio entre as placas.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o esforço cortante (τ) no centro entre as placas. Para isso, usamos a relação entre o esforço cortante, a viscosidade ( ) e o gradiente de velocidade:
Isso significa que o esforço cortante é proporcional à viscosidade do fluido e à taxa de variação da velocidade em relação a .

Passo 4

Precisamos calcular a derivada da velocidade no centro ( ). Vamos derivar a expressão da velocidade em relação a :
Primeiro, reescrevemos a velocidade:
Agora, derivamos em relação a :
No centro, , então:
Ops! Parece que derivamos algo errado. Vamos refazer:
Na verdade, a derivada correta é:
Mas no centro ( ), a derivada ainda é zero. Isso sugere que o esforço cortante no centro é zero. No entanto, o valor que você mencionou é diferente, então devemos verificar novamente.
Na realidade, a fórmula correta da derivada é:
Ainda, substituindo :
Isso indica que o esforço cortante no centro é zero, o que está de acordo com o perfil parabólico simétrico típico desse tipo de escoamento.
Parece que houve um mal-entendido no valor fornecido. Vamos considerar que o esforço cortante no centro é realmente zero.

Resposta

No centro entre as placas, o esforço cortante ( ) é igual a ².

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A distribuição de velocidade para o escoamento em duas placas fixas paralelas é dada por
Onde h é a distância separando as placas e é a velocidade máxima que ocorre no centro do escoamento. A origem está situada na linha mediana entre as placas. Considerando o escoamento de água ( ) com h e : Obtenha a tensão de cisalhamento na placa superior.
Onde h é a distância separando as placas e é a velocidade máxima que ocorre no centro do escoamento. A origem está situada na linha mediana entre as placas. Considerando o escoamento de água ( ) com h e :
a) Obtenha a tensão de cisalhamento na placa superior.
Mostre que
Um perfil de velocidade adequado para descrever o escoamento turbulento em tubos é
onde é a velocidade na linha de centro do tubo, é a coordenada radial, é o raio do tubo e é o versor alinhado com a linha de centro do tubo. Determine a razão entre a velocidade média, a velocidade no centro, , para (a) , (b) , © e (d) .