A distribuição de velocidade para o escoamento em duas placas fixas paralelas é dada por
u(r)umax =[1-(2 yh)^2]
Onde h é a distância separando as placas e umax é a velocidade máxima que ocorre no centro do escoamento. A origem está situada na linha mediana entre as placas. Considerando o escoamento de água ( mu=0,00114 N s / m^2 ) com h =0,5 mm e umax =0,3 m / s : Informe qual o valor de tau no centro entre as placas. Justifique. R: tau=-2,73 N / m^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o fluxo de água entre duas placas paralelas. A gente vai precisar entender um pouco sobre perfil de velocidade em escoamento laminar e como calcular o esforço cortante (τ). Vamos usar a fórmula que te deram para a velocidade e as informações sobre a viscosidade, a distância entre as placas e a velocidade máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a fórmula da distribuição de velocidade que você forneceu:
u(y)umax = [1 - (2yh)^2]
Aqui, é a velocidade em uma posição entre as placas, é a velocidade máxima no centro, e é a distância entre as placas. A origem está no meio entre as placas.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o esforço cortante (τ) no centro entre as placas. Para isso, usamos a relação entre o esforço cortante, a viscosidade ( tau = mu dudy ) e o gradiente de velocidade:
Isso significa que o esforço cortante é proporcional à viscosidade do fluido e à taxa de variação da velocidade em relação a .

Passo 4

Precisamos calcular a derivada da velocidade u(y) = umax [1 - (2yh)^2] no centro ( dudy = umax cdot ddy [1 - (2yh)^2] = umax cdot [-2 cdot 4yh^2] = -4umax cdot yh^2 ). Vamos derivar a expressão da velocidade em relação a dudy|y=0 = -4umax cdot 0h^2 = 0 :
Primeiro, reescrevemos a velocidade:
dudy = umax cdot [-2 cdot 2h] cdot ddy(yh) = -4umax yh^2
Agora, derivamos em relação a dudy = ddy[ umax (1 - (2yh)^2 ) ] = umax cdot ( -2 cdot 4yh^2 ) = -4umax yh^2 :
dudy = 0
No centro, , então:
Ops! Parece que derivamos algo errado. Vamos refazer:
Na verdade, a derivada correta é:
Mas no centro ( ), a derivada ainda é zero. Isso sugere que o esforço cortante no centro é zero. No entanto, o valor que você mencionou é diferente, então devemos verificar novamente.
Na realidade, a fórmula correta da derivada é:
Ainda, substituindo :
Isso indica que o esforço cortante no centro é zero, o que está de acordo com o perfil parabólico simétrico típico desse tipo de escoamento.
Parece que houve um mal-entendido no valor fornecido. Vamos considerar que o esforço cortante no centro é realmente zero.

Resposta

No centro entre as placas, o esforço cortante ( ) é igual a ².

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