Mostre que

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que:
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de termodinâmica, especificamente envolvendo derivadas parciais e propriedades termodinâmicas como capacidade calorífica a volume constante , pressão , coeficiente de expansão térmica e compressibilidade isoterma . Para resolver isso, vamos precisar usar algumas relações fundamentais da termodinâmica e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacidade calorífica a volume constante é definida como:
onde é a energia interna do sistema. Essa relação nos diz como a energia interna muda com a temperatura mantendo o volume constante.

Passo 3

Agora, queremos expressar a derivada . Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais, que nos permite relacionar diferentes derivadas:
Aqui, usamos que manter constante implica uma relação entre como e variam.

Passo 4

Substituindo a definição de que vimos no Passo 2:
Isso nos ajuda a relacionar a derivada que queremos com a capacidade calorífica.

Passo 5

Para avançar, precisamos encontrar a expressão para . Usando a primeira lei da termodinâmica e relações de Maxwell, sabemos que:
Isso conecta a derivada da energia interna com a pressão e a derivada da pressão em relação à temperatura a volume constante.

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na equação do Passo 4:
Estamos progredindo na manipulação das equações para chegar �� forma desejada.

Passo 7

Vamos reescrever a derivada usando o coeficiente de expansão térmica :
Isso nos permite expressar a derivada em termos das propriedades termodinâmicas dadas.

Passo 8

Substituindo essa relação na equação do Passo 6:
Simplificando a expressão:

Resposta

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