Mostre que
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que:
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de termodinâmica, especificamente envolvendo derivadas parciais e propriedades termodinâmicas como capacidade calorífica a volume constante
, pressão
, coeficiente de expansão térmica
e compressibilidade isoterma
. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas relações fundamentais da termodinâmica e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacidade calorífica a volume constante
é definida como:
onde
é a energia interna do sistema. Essa relação nos diz como a energia interna muda com a temperatura mantendo o volume constante.
Passo 3
Agora, queremos expressar a derivada
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais, que nos permite relacionar diferentes derivadas:
Aqui, usamos que manter
constante implica uma relação entre como
e
variam.
Passo 4
Substituindo a definição de
que vimos no Passo 2:
Isso nos ajuda a relacionar a derivada que queremos com a capacidade calorífica.
Passo 5
Para avançar, precisamos encontrar a expressão para
. Usando a primeira lei da termodinâmica e relações de Maxwell, sabemos que:
Isso conecta a derivada da energia interna com a pressão e a derivada da pressão em relação à temperatura a volume constante.
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na equação do Passo 4:
Estamos progredindo na manipulação das equações para chegar �� forma desejada.
Passo 7
Vamos reescrever a derivada
usando o coeficiente de expansão térmica
:
Isso nos permite expressar a derivada em termos das propriedades termodinâmicas dadas.
Passo 8
Substituindo essa relação na equação do Passo 6:
Simplificando a expressão: