Um perfil de velocidade adequado para descrever o escoamento turbulento em tubos é
onde é a velocidade na linha de centro do tubo, é a coordenada radial, é o raio do tubo e é o versor alinhado com a linha de centro do tubo. Determine a razão entre a velocidade média, a velocidade no centro, , para (a) , (b) , © e (d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre escoamento turbulento em tubos e nos dá um perfil de velocidade para isso. Nosso objetivo é encontrar a razão entre a velocidade média ( ) e a velocidade no centro do tubo ( ) para diferentes valores de . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade média a partir do perfil de velocidade fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a velocidade média em um tubo é calculada integrando o perfil de velocidade em toda a seção transversal e dividindo pela área do tubo. No nosso caso, o perfil de velocidade é dado por:
onde:
  • é a velocidade no centro do tubo,
  • é a coordenada radial,
  • é o raio do tubo.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade média ( ). Em coordenadas polares, a velocidade média é dada por:
Como a velocidade não depende de , podemos simplificar a integral:

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável. Seja , então e . Quando , , e quando , . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
Portanto:

Passo 6

Agora, queremos encontrar a razão entre a velocidade média e a velocidade no centro:
Vamos calcular essa razão para os valores de pedidos na questão.

Passo 7

(a) Para :
(b) Para :
© Para :
(d) Para :

Resposta

A razão entre a velocidade média e a velocidade no centro para cada valor de é:
  • (a) :
  • (b) :
  • © :
  • (d) :

Exercícios relacionados

Mostre que
A distribuição de velocidade para o escoamento em duas placas fixas paralelas é dada por
Onde h é a distância separando as placas e é a velocidade máxima que ocorre no centro do escoamento. A origem está situada na linha mediana entre as placas. Considerando o escoamento de água ( ) com h e : Informe qual o valor de no centro entre as placas. Justifique. R: ;
Determine a viscosidade cinemática de um óleo com massa específica de . A tensão viscosa em um determinado ponto do óleo é de , onde o gradiente de velocidades é .
Uma mangueira (comprimento , diâmetro e rugosidade ) está conectada a uma torneira onde a pressão é . Admitindo que não há nenhum bocal conectado à mangueira, determine sabendo que a velocidade média do escoamento na mangueira é . Despreze as perdas localizadas e o possível desnível.