Um perfil de velocidade adequado para descrever o escoamento turbulento em tubos é
onde
é a velocidade na linha de centro do tubo,
é a coordenada radial,
é o raio do tubo e
é o versor alinhado com a linha de centro do tubo. Determine a razão entre a velocidade média,
a velocidade no centro,
, para (a)
, (b)
, ©
e (d)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre escoamento turbulento em tubos e nos dá um perfil de velocidade para isso. Nosso objetivo é encontrar a razão entre a velocidade média (
) e a velocidade no centro do tubo (
) para diferentes valores de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade média a partir do perfil de velocidade fornecido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a velocidade média em um tubo é calculada integrando o perfil de velocidade em toda a seção transversal e dividindo pela área do tubo. No nosso caso, o perfil de velocidade é dado por:
onde:
-
é a velocidade no centro do tubo, -
é a coordenada radial, -
é o raio do tubo.
Passo 3
Vamos calcular a velocidade média (
). Em coordenadas polares, a velocidade média é dada por:
Como a velocidade não depende de
, podemos simplificar a integral:
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável. Seja
, então
e
. Quando
,
, e quando
,
. Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Portanto:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a razão entre a velocidade média e a velocidade no centro:
Vamos calcular essa razão para os valores de
pedidos na questão.
Passo 7
(a) Para
:
(b) Para
:
© Para
:
(d) Para
:
Resposta
A razão entre a velocidade média e a velocidade no centro para cada valor de
é:
- (a)
: - (b)
: - ©
: - (d)
:
Exercícios relacionados
Mostre que
A distribuição de velocidade para o escoamento em duas placas fixas paralelas é dada por
Onde h é a distância separando as placas e
é a velocidade máxima que ocorre no centro do escoamento. A origem está situada na linha mediana entre as placas. Considerando o escoamento de água (
) com h
e
: Informe qual o valor de
no centro entre as placas. Justifique. R:
;
Determine a viscosidade cinemática de um óleo com massa específica de
. A tensão viscosa em um determinado ponto do óleo é de
, onde o gradiente de velocidades é
.
Uma mangueira (comprimento
, diâmetro
e rugosidade
) está conectada a uma torneira onde a pressão é
. Admitindo que não há nenhum bocal conectado à mangueira, determine
sabendo que a velocidade média do escoamento na mangueira é
. Despreze as perdas localizadas e o possível desnível.