Um perfil de velocidade adequado para descrever o escoamento turbulento em tubos é
V=uc(R-rR)^1 / n i
onde uc é a velocidade na linha de centro do tubo, r é a coordenada radial, R é o raio do tubo e i é o versor alinhado com a linha de centro do tubo. Determine a razão entre a velocidade média, baru, e a velocidade no centro, ude, para (a) n=4, (b) n=6, © n=8 e (d) n=10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre escoamento turbulento em tubos e nos dá um perfil de velocidade para isso. Nosso objetivo é encontrar a razão entre a velocidade média ( baru) e a velocidade no centro do tubo ( uc) para diferentes valores de n. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade média a partir do perfil de velocidade fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a velocidade média em um tubo é calculada integrando o perfil de velocidade em toda a seção transversal e dividindo pela área do tubo. No nosso caso, o perfil de velocidade é dado por:
V = uc(R - rR)^1 / n i
onde:
  • uc é a velocidade no centro do tubo,
  • r é a coordenada radial,
  • R é o raio do tubo.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade média ( baru). Em coordenadas polares, a velocidade média é dada por:
baru = 1pi R^2 integral0^2pi integral0^R V(r) , r , dr , dtheta
Como a velocidade não depende de theta, podemos simplificar a integral:
baru = 2pipi R^2 integral0^R uc(R - rR)^1 / n r , dr = 2ucR^2 integral0^R (R - rR)^1 / n r , dr

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável. Seja x = R - rR, então r = R(1 - x) e dr = -R , dx. Quando r = 0, x = 1, e quando r = R, x = 0. Substituindo na integral:
baru = 2ucR^2 integral1^0 x^1 / n R(1 - x) (-R , dx) = 2ucR^2 R^2 integral0^1 x^1 / n(1 - x) , dx = 2uc integral0^1 x^1 / n(1 - x) , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^1 x^1 / n(1 - x) , dx = integral0^1 x^1 / n , dx - integral0^1 x^1 / n + 1 , dx = nn + 1 - nn + 2 = n(n + 1)(n + 2)
Portanto:
baru = 2uc cdot n(n + 1)(n + 2) = 2n(n + 1)(n + 2) uc

Passo 6

Agora, queremos encontrar a razão entre a velocidade média e a velocidade no centro:
baruuc = 2n(n + 1)(n + 2)
Vamos calcular essa razão para os valores de n pedidos na questão.

Passo 7

(a) Para n = 4:
baruuc = 2 cdot 4(4 + 1)(4 + 2) = 85 cdot 6 = 830 = 415 approx 0,267
(b) Para n = 6:
baruuc = 2 cdot 6(6 + 1)(6 + 2) = 127 cdot 8 = 1256 = 314 approx 0,214
© Para n = 8:
baruuc = 2 cdot 8(8 + 1)(8 + 2) = 169 cdot 10 = 1690 = 845 approx 0,178
(d) Para n = 10:
baruuc = 2 cdot 10(10 + 1)(10 + 2) = 2011 cdot 12 = 20132 = 533 approx 0,152

Resposta

A razão entre a velocidade média e a velocidade no centro para cada valor de n é:
  • (a) n=4: baruuc = 415 approx 0,267
  • (b) n=6: baruuc = 314 approx 0,214
  • © n=8: baruuc = 845 approx 0,178
  • (d) n=10: baruuc = 533 approx 0,152

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