A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada pela equação ao lado, em que h é a distância entre as placas, e a origem está situada na linha mediana entre as placas.
uumax =1-(2 yh)^2
Considere um escoamento de água a 15^circ C, com u máx =0,10 m / s e h=0,1 mmá. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um escoamento laminar entre duas placas paralelas, onde a velocidade do fluido varia de acordo com a posição entre as placas. A equação que descreve essa distribuição de velocidade é:
uumax =1-(2 yh)^2
Nos dados do problema, sabemos que:
  • A velocidade máxima é de 0,10 m/s.
  • A distância entre as placas é de 0,1 mm.
  • A temperatura da água é 15°C.
Precisamos calcular a tensão de cisalhamento na placa superior e determinar seu sentido. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre escoamento laminar e tensão de cisalhamento.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. A distância entre as placas h = 0,1 mm = 0,0001 m é dada em milímetros, então vamos converter para metros:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o gradiente de velocidade u = umax (1 - (2yh)^2) na placa superior. A derivada da função de velocidade em relação à posição dudy = umax cdot ddy (1 - (2yh)^2) = umax cdot (-4yh^2) nos dá esse gradiente.
A equação da velocidade é:
Vamos derivar essa equação em relação a :

Passo 4

Na placa superior, a posição dudyg|y=h2 = umax cdot (-4 cdot h2h^2) = -2umaxh é igual a metade da distância entre as placas, ou seja, . Substituindo esse valor na derivada:

Passo 5

A tensão de cisalhamento tau = mu cdot dudy é dada por:
mu approx 1,140 times 10^-3 Pa·s
Onde tau = mu cdot (-2umaxh) = 1,140 times 10^-3 cdot (-2 cdot 0,100,0001) é a viscosidade dinâmica da água a 15°C. Consultando tabelas de propriedades da água, encontramos que:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos calcular o valor numérico:
tau = 1,140 times 10^-3 cdot (-0,200,0001) = 1,140 times 10^-3 cdot (-2000) = -2,28 Pa

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior é de 2,28 Pa e atua na direção oposta ao fluxo do escoamento.

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