A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada pela equação ao lado, em que
é a distância entre as placas, e a origem está situada na linha mediana entre as
placas. Considere um escoamento de água a
, com
. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido.
Passo 1
Então, temos um exercício que fala sobre fluxo laminar entre placas paralelas e queremos calcular a tensão de cisalhamento na placa de cima. Vamos precisar entender como a velocidade do fluido varia entre as placas e usar conceitos de mecânica dos fluidos para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação que descreve a distribuição de velocidade:
Aqui,
é a velocidade em uma posição
entre as placas,
é a velocidade máxima no centro do fluxo, e
é a distância entre as placas. A origem
está no meio entre as placas.
Passo 3
A tensão de cisalhamento
em um fluido é basicamente a força por unidade de área que o fluido exerce nas placas devido à sua viscosidade. A fórmula para calcular
é:
Onde:
-
é a viscosidade dinâmica do fluido. -
é o gradiente de velocidade na direção perpendicular às placas.
Passo 4
Vamos primeiro encontrar a derivada da velocidade
em relação a
:
Dada a equação da velocidade:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora que temos
, substituímos na fórmula da tensão de cisalhamento:
A tensão de cisalhamento será negativa, indicando a direção da força em relação ao movimento do fluido.
Passo 6
Queremos a tensão de cisalhamento na placa superior, que está localizada em
. Substituindo
:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
-
-
- A viscosidade da água a
é aproximadamente
Substituindo na fórmula:
Resposta
A tensão de cisalhamento na placa superior é de
. O sinal negativo indica que a força de cisalhamento atua na direção oposta ao movimento do fluido.