A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada pela equação ao lado, em que h é a distância entre as placas, e a origem está situada na linha mediana entre as
uumax =1-(2 yh)^2
placas. Considere um escoamento de água a 15^circ C, com u máx =0,10 m / s e h=0,1 mmá. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido.

Passo 1

Então, temos um exercício que fala sobre fluxo laminar entre placas paralelas e queremos calcular a tensão de cisalhamento na placa de cima. Vamos precisar entender como a velocidade do fluido varia entre as placas e usar conceitos de mecânica dos fluidos para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação que descreve a distribuição de velocidade:
uumax = 1 - ( 2yh )^2
Aqui, é a velocidade em uma posição entre as placas, é a velocidade máxima no centro do fluxo, e é a distância entre as placas. A origem está no meio entre as placas.

Passo 3

A tensão de cisalhamento tau = mu dudy em um fluido é basicamente a força por unidade de área que o fluido exerce nas placas devido à sua viscosidade. A fórmula para calcular é:
Onde:
  • é a viscosidade dinâmica do fluido.
  • é o gradiente de velocidade na direção perpendicular às placas.

Passo 4

Vamos primeiro encontrar a derivada da velocidade u = umax (1 - ( 2yh )^2 ) em relação a dudy = umax cdot ddy (1 - ( 2yh )^2 ) = umax cdot (-2 cdot 4yh^2) = -4 umax yh^2 :
Dada a equação da velocidade:
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora que temos tau = mu cdot (-4 umax yh^2) , substituímos na fórmula da tensão de cisalhamento:
A tensão de cisalhamento será negativa, indicando a direção da força em relação ao movimento do fluido.

Passo 6

Queremos a tensão de cisalhamento na placa superior, que está localizada em tau = mu cdot (-4 umax cdot h2h^2) = mu cdot (-2 umaxh) = -2 mu umaxh . Substituindo :

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
  • tau = -2 cdot 1,14 times 10^-3 , Pa cdot s cdot 0,10 , m/s0,0001 , m = -2 cdot 1,14 times 10^-4 , Pa0,0001 = -2,28 , Pa
  • A viscosidade da água a é aproximadamente
Substituindo na fórmula:

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior é de . O sinal negativo indica que a força de cisalhamento atua na direção oposta ao movimento do fluido.

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