A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por
uu máx =1-(2 yh)^2 á
em que h é a distância separando as placas e a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 20^circ C, com u máx =0,20 m / sá e h=0,2 mm. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento em uma seção transversal do canal.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um escoamento laminar entre duas placas paralelas, e a distribuição de velocidade é dada pela fórmula:
uumáx = 1 - (2yh)^2 á
Aqui, é a distância entre as placas, á é a velocidade máxima, e é a posição vertical em relação à linha mediana entre as placas. Nosso objetivo é calcular a tensão de cisalhamento na placa superior e entender seu sentido. Para isso, vamos precisar dos conceitos de viscosidade e derivadas para encontrar a taxa de variação da velocidade.

Passo 2

Vamos começar identificando os valores fornecidos:
  • Velocidade máxima, tau = mu dudy á m/s
  • Distância entre as placas, mm m
  • Temperatura da água, C
A tensão de cisalhamento ( ) em um fluido é dada por:
Onde:
  • é a viscosidade dinâmica da água
  • é a derivada da velocidade em relação a

Passo 3

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da velocidade u = umáx (1 - (2yh)^2) em relação a dudy = umáx (-2 cdot 2h^2 y) = -4umáxh^2 y . A equação fornecida pode ser reescrita como:
á
Vamos derivar essa expressão em relação a :
áá

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada na posição da placa superior. Como a origem está na linha mediana, a placa superior está em dudyg|y = h2 = -4umáxh^2 cdot h2 = -2umáxh . Substituindo na expressão da derivada:
áá

Passo 5

Agora, precisamos da viscosidade dinâmica da água a mu approx 1,002 times 10^-3 Pacdots C. Sabemos que:

Passo 6

Com a derivada e a viscosidade, podemos calcular a tensão de cisalhamento:
tau = mu dudy = 1,002 times 10^-3 Pacdots times (-2 times 0,20 m/s0,0002 m)

Passo 7

Vamos calcular os valores numéricos:
2 times 0,200,0002 = 0,400,0002 = 2000 s^-1
Portanto,
tau = 1,002 times 10^-3 times (-2000) = -2,004 Pa

Passo 8

A tensão de cisalhamento negativa indica que a força está atuando na direção contrária ao movimento da camada de fluido, ou seja, acima da placa superior.

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior é de -2,004 Pa, indicando que a força de cisalhamento atua para baixo na placa superior.

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