A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por
em que h é a distância separando as placas e a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a , com e . Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento em uma seção transversal do canal.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um escoamento laminar entre duas placas paralelas, e a distribuição de velocidade é dada pela fórmula:
Aqui, é a distância entre as placas, é a velocidade máxima, e é a posição vertical em relação à linha mediana entre as placas. Nosso objetivo é calcular a tensão de cisalhamento na placa superior e entender seu sentido. Para isso, vamos precisar dos conceitos de viscosidade e derivadas para encontrar a taxa de variação da velocidade.
Passo 2
Vamos começar identificando os valores fornecidos:
Velocidade máxima, m/s
Distância entre as placas, mm m
Temperatura da água, C
A tensão de cisalhamento () em um fluido é dada por:
Onde:
é a viscosidade dinâmica da água
é a derivada da velocidade em relação a
Passo 3
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da velocidade em relação a . A equação fornecida pode ser reescrita como:
Vamos derivar essa expressão em relação a :
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada na posição da placa superior. Como a origem está na linha mediana, a placa superior está em . Substituindo na expressão da derivada:
Passo 5
Agora, precisamos da viscosidade dinâmica da água a C. Sabemos que:
Passo 6
Com a derivada e a viscosidade, podemos calcular a tensão de cisalhamento:
Passo 7
Vamos calcular os valores numéricos:
Portanto,
Passo 8
A tensão de cisalhamento negativa indica que a força está atuando na direção contrária ao movimento da camada de fluido, ou seja, acima da placa superior.
Resposta
A tensão de cisalhamento na placa superior é de -2,004 Pa, indicando que a força de cisalhamento atua para baixo na placa superior.