A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por
uumax =1-(2 yh)^2
em que h é a distância separando as placas e a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 15^circ C, com u mix =0,10 m / s e h=0,1 mm. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento em uma seção transversal do canal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema sobre escoamento laminar entre duas placas paralelas. O que a gente precisa fazer é calcular a tensão de cisalhamento na placa de cima e entender qual é o sentido dessa tensão. Além disso, vamos esboçar como essa tensão varia ao longo da seção transversal do canal. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica de fluidos, especificamente sobre escoamentos laminares e tensões de cisalhamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da distribuição de velocidade dada:
uumax = 1 - ( 2 yh )^2
Aqui, é a velocidade do fluido em um ponto a uma distância da linha mediana entre as placas, é a velocidade máxima, e é a distância entre as placas. Nossa tarefa é encontrar a tensão de cisalhamento na placa superior.

Passo 3

A tensão de cisalhamento ( tau = mu dudy ) em um fluido é dada pela fórmula:
onde:
  • é a viscosidade do fluido,
  • é o gradiente de velocidade em relação à posição .
Então, primeiro precisamos encontrar a derivada da velocidade em relação a .

Passo 4

Vamos derivar a equação de u = umax [ 1 - ( 2 yh )^2 ] em relação a dudy = umax [ 0 - 2 cdot 2h^2 cdot y ] = - 4 umax yh^2 :
Começando com a equação original:
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, precisamos da viscosidade da água a mu = 1,14 times 10^-3 , Pa cdot s . A viscosidade dinâmica ( dudy g|y = h/2 = - 4 times 0,10 , m/s times h2h^2 = - 2 times 0,10h ) da água a essa temperatura é aproximadamente:
dudy = - 0,200,0001 , m = -2000 , s^-1
Vamos substituir os valores na fórmula da tensão de cisalhamento. Primeiro, precisamos identificar . Sabemos que . No escoamento laminar entre placas paralelas, o escoamento é simétrico, então .
Então,
Dado que , temos:

Passo 6

Agora, calculamos a tensão de cisalhamento:
tau = mu dudy = 1,14 times 10^-3 , Pa cdot s times (-2000 , s^-1) = -2,28 , Pa
O sinal negativo indica que a tensão de cisalhamento está agindo para opor-se ao movimento do fluido, ou seja, está direcionada para baixo na placa superior.

Passo 7

Para esboçar a variação da tensão de cisalhamento na seção transversal do canal, percebemos que a derivada é linear em , já que . Isso significa que a tensão de cisalhamento varia de forma linear de zero na linha mediana ( ) até um valor máximo nas placas ( ). O gráfico seria uma reta que passa pela origem e declina de forma simétrica para cima e para baixo conforme nos afastamos da linha mediana.

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior é de aproximadamente e está direcionada para baixo, ou seja, no sentido oposto ao movimento do fluido.

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