A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por
onde é a distância separando as duas placas; a origem está situada ña linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a com velocidade máxima de e . Calcule a força sobre uma seção de da placa inferior e dê o seu sentido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o escoamento laminar entre duas placas paralelas e nos pede para calcular a força exercida sobre uma seção da placa inferior. Estamos lidando com mecânica dos fluidos, mais especificamente com escoamento laminar. Para resolver isso, vamos precisar entender a distribuição de velocidades no escoamento, calcular o gradiente de velocidade e, finalmente, determinar a força usando a viscosidade da água.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da distribuição de velocidade dada:
Aqui:
é a velocidade do fluido em uma posição .
é a velocidade máxima do fluxo, que é .
é a distância entre as duas placas, .
é a posição em relação à linha mediana entre as placas.
Passo 3
Para encontrar a força que o fluido exerce sobre a placa inferior, precisamos calcular o esforço cortante (ou tensão de cisalhamento) na parede. A fórmula para a tensão de cisalhamento é:
Onde:
é a viscosidade dinâmica da água a . Sabemos que para água a essa temperatura é aproximadamente .
é o gradiente de velocidade perpendicular à direção do fluxo.
Passo 4
Vamos calcular o gradiente de velocidade . Primeiro, derivamos a expressão da velocidade em relação a :
Derivando em relação a :
Na parede inferior, (já que a origem está na linha mediana). Substituindo:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula da tensão de cisalhamento:
Dados:
Substituindo:
Passo 6
A força exercida sobre a área da placa é dada por:
Onde . Então:
Resposta
A força exercida sobre a seção de da placa inferior é de 0,114 N e atua na direção oposta ao fluxo do escoamento.