A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por
uumsx=1-(2 yh)^2
onde h é a distância separando as duas placas; a origem está situada ña linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a 15^circ C com velocidade máxima de 0,05 m / s e h=1 mm. Calcule a força sobre uma seção de 1 m^2 da placa inferior e dê o seu sentido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o escoamento laminar entre duas placas paralelas e nos pede para calcular a força exercida sobre uma seção da placa inferior. Estamos lidando com mecânica dos fluidos, mais especificamente com escoamento laminar. Para resolver isso, vamos precisar entender a distribuição de velocidades no escoamento, calcular o gradiente de velocidade e, finalmente, determinar a força usando a viscosidade da água.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da distribuição de velocidade dada:
uumsx = 1 - ( 2yh )^2
Aqui:
  • é a velocidade do fluido em uma posição .
  • é a velocidade máxima do fluxo, que é .
  • é a distância entre as duas placas, .
  • é a posição em relação à linha mediana entre as placas.

Passo 3

Para encontrar a força que o fluido exerce sobre a placa inferior, precisamos calcular o esforço cortante (ou tensão de cisalhamento) na parede. A fórmula para a tensão de cisalhamento tau = mu dudy é:
Onde:
  • é a viscosidade dinâmica da água a . Sabemos que para água a essa temperatura é aproximadamente .
  • é o gradiente de velocidade perpendicular à direção do fluxo.

Passo 4

Vamos calcular o gradiente de velocidade u = umsx [ 1 - ( 2yh )^2 ] . Primeiro, derivamos a expressão da velocidade em relação a dudy = umsx [ -2 times 2yh^2 ] = -4 umsx yh^2 :
dudyg|parede inferior = -4 umsx ( -h2 )h^2 = 2 umsxh
Derivando em relação a :
Na parede inferior, (já que a origem está na linha mediana). Substituindo:

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da tensão de cisalhamento:
tau = mu 2 umsxh
Dados:
  • tau = 1,14 times 10^-3 times 2 times 0,050,001 = 1,14 times 10^-3 times 100 = 0,114 , Pa
Substituindo:

Passo 6

A força F = tau times A exercida sobre a área F = 0,114 , Pa times 1 , m^2 = 0,114 , N da placa é dada por:
Onde . Então:

Resposta

A força exercida sobre a seção de da placa inferior é de 0,114 N e atua na direção oposta ao fluxo do escoamento.

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