Sabendo que x e y estão relacionados pela equação raiz(x^2 + y^2) - x^2 = 5, determine d/y d/x usando derivação implícita.

Passo 1

Beleza, temos o seguinte problema: as variáveis e estão ligadas pela equação . Vamos usar a derivação implícita para encontrar a derivada . Isso significa que vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a , considerando que é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, ao derivar em relação a , usamos porque depende de .
A derivada de é:
A derivada de é:
E a derivada de é:

Passo 4

Então, igualando as derivadas:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:

Passo 6

Agora, vamos isolar . Primeiro, movemos o para o outro lado:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Subtraindo de ambos os lados:

Passo 8

Finalmente, dividindo ambos os lados por para isolar :

Resposta

A derivada é igual a:

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