Sabendo que
e
estão relacionados pela equação
, determine
usando derivação implícita.
Passo 1
Beleza, temos o seguinte problema: as variáveis
e
estão ligadas pela equação
. Vamos usar a derivação implícita para encontrar a derivada
. Isso significa que vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, considerando que
é uma função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que, ao derivar
em relação a
, usamos
porque
depende de
.
A derivada de
é:
A derivada de
é:
E a derivada de
é:
Passo 4
Então, igualando as derivadas:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 6
Agora, vamos isolar
. Primeiro, movemos o
para o outro lado:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 8
Finalmente, dividindo ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A derivada
é igual a:
Exercícios relacionados
A distribuição vertical da velocidade da água em um rio pode ser aproximada por
, onde
é a velocidade
a uma profundidade de
metros abaixo da superfície,
é a profundidade do rio è
é uma constante positiva. Se
é a velocidade na superfície, mostre que a velocidade média
é dada por
.
Nas questões de 9 a 12 escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada no ponto indicado.
Nas questões de 1 a 4 encontre dy/ dx através de derivação implícita:
Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.