Sabendo que x e y estão relacionados pela equação raiz(x^2 + y^2) - x^2 = 5, determine d/y d/x usando derivação implícita.

Passo 1

Beleza, temos o seguinte problema: as variáveis e estão ligadas pela equação . Vamos usar a derivação implícita para encontrar a derivada . Isso significa que vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a , considerando que é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, ao derivar em relação a , usamos porque depende de .
A derivada de é:
A derivada de é:
E a derivada de é:

Passo 4

Então, igualando as derivadas:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:

Passo 6

Agora, vamos isolar . Primeiro, movemos o para o outro lado:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Subtraindo de ambos os lados:

Passo 8

Finalmente, dividindo ambos os lados por para isolar :

Resposta

A derivada é igual a:

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A distribuição vertical da velocidade da água em um rio pode ser aproximada por v = c(d - y)^(1/6), onde v é a velocidade em m/s a uma profundidade de y metros abaixo da superfície, d é a profundidade do rio è c é uma constante positiva. Se v0 é a velocidade na superfície, mostre que a velocidade média vm é dada por vm = 6/7 v0.
Nas questões de 9 a 12 escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada no ponto indicado.
x^2 * y^3 - y^2 + x * y = 1 ; P = (1, 1)
Nas questões de 1 a 4 encontre dy/ dx através de derivação implícita:
x^2 y - x y^2 + x^2 = 7
Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
xy = 2 ; x = 2