Nas questões de 1 a 4 encontre dy/ dx através de derivação implícita:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a derivada de
em relação a
usando derivação implícita na equação
. Isso significa que vamos achar
sem isolar
primeiro. Para isso, vamos aplicar as regras de derivação em cada termo da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar
. Como é um produto de duas funções, usamos a regra do produto:
Aqui, derivamos
que dá
e deixamos
como está, mais
vezes a derivada de
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
. Também é um produto, então aplicamos a regra do produto:
Derivamos
que dá 1 e
que dá
.
Passo 4
A terceira parte é
. A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, derivamos o lado direito da equação, que é 7. A derivada de uma constante é 0:
Passo 6
Juntando todas as derivadas, temos:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
e os que não contêm.
Passo 7
Reorganizando:
Fatorando
:
Passo 8
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, a derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Sabendo que
e
estão relacionados pela equação
, determine
usando derivação implícita.
A distribuição vertical da velocidade da água em um rio pode ser aproximada por
, onde
é a velocidade
a uma profundidade de
metros abaixo da superfície,
é a profundidade do rio è
é uma constante positiva. Se
é a velocidade na superfície, mostre que a velocidade média
é dada por
.
Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.