Resolva a integral dupla abaixo, onde
é a região do primeiro quadrante formada pelas duas circunferências
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está no primeiro quadrante, entre duas circunferências: uma com raio 1 (
) e outra com raio 2 (
). A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para áreas circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Como estamos no primeiro quadrante e entre duas circunferências, em coordenadas polares isso significa que o ângulo
vai de
a
(90 graus) e o raio
vai de
a
. Então, podemos definir nossos limites de integração dessa forma.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. A função que estamos integrando é
. Em coordenadas polares,
é igual a
. Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos esse resultado na integral externa, que é em relação a
:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Resolva a integral dupla abaixo, onde
é região delimitada pelo triângulo formado pelos pontos
e
:
Resolva as integrais duplas:
, onde
O divergente de um campo vetorial
é um campo escalar definido por
. Se
é um campo vetorial, então calcule a integral tripla
, onde
é o sólido definido por
.
Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para as respectivas equações diferenciais.