Resolva a integral dupla abaixo, onde é a região do primeiro quadrante formada pelas duas circunferências e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está no primeiro quadrante, entre duas circunferências: uma com raio 1 ( ) e outra com raio 2 ( ). A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para áreas circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Como estamos no primeiro quadrante e entre duas circunferências, em coordenadas polares isso significa que o ângulo vai de a (90 graus) e o raio vai de a . Então, podemos definir nossos limites de integração dessa forma.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. A função que estamos integrando é . Em coordenadas polares, é igual a . Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é . Assim, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos esse resultado na integral externa, que é em relação a :

Resposta

A integral dupla vale .

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Resolva a integral dupla abaixo, onde é região delimitada pelo triângulo formado pelos pontos e :
Resolva as integrais duplas: , onde
O divergente de um campo vetorial é um campo escalar definido por . Se é um campo vetorial, então calcule a integral tripla , onde é o sólido definido por .
Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para as respectivas equações diferenciais.