Resolva a integral dupla abaixo, onde D é a região do primeiro quadrante formada pelas duas circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4
integralD integral raizx^2+y^2 d A

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está no primeiro quadrante, entre duas circunferências: uma com raio 1 ( x^2+y^2=1) e outra com raio 2 ( x^2+y^2=4). A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para áreas circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. Como estamos no primeiro quadrante e entre duas circunferências, em coordenadas polares isso significa que o ângulo theta vai de 0 a pi2 (90 graus) e o raio r vai de 1 a 2. Então, podemos definir nossos limites de integração dessa forma.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. A função que estamos integrando é raizx^2+y^2. Em coordenadas polares, raizx^2+y^2 é igual a r. Além disso, o elemento de área dA em coordenadas polares é r , dr , dtheta. Assim, a integral fica:
integral0^pi2 integral1^2 r cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral1^2 r^2 , dr , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral1^2 r^2 , dr = [ r^33 ]1^2 = 2^33 - 1^33 = 83 - 13 = 73

Passo 5

Agora, substituímos esse resultado na integral externa, que é em relação a theta:
integral0^pi2 73 , dtheta = 73 [ theta ]0^pi2 = 73 cdot pi2 = 7pi6

Resposta

A integral dupla vale 7pi6.

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