As divisões de um polinômio f(x) por x - 1, x - 2 e x - 3 são exatas. O que pode-se dizer das raizes e do grau de f ?

Passo 1

Vamos entender o problema. Temos um polinômio que, quando dividido por , e , dá divisão exata. Isso significa que 1, 2 e 3 são raízes de . Nosso objetivo é descobrir o que isso nos diz sobre as raízes de e o grau desse polinômio. Para resolver, vamos usar o Teorema do Resto e entender como as raízes influenciam o grau do polinômio.

Passo 2

Quando dizemos que a divisão de por é exata, isso significa que o resto dessa divisão é zero. Segundo o Teorema do Resto, se , então é uma raiz de . Aplicando isso aos divisores dados:
  • → 1 é raiz.
  • → 2 é raiz.
  • → 3 é raiz.
Isso nos mostra que 1, 2 e 3 são raízes de .

Passo 3

Sabendo que 1, 2 e 3 são raízes de , podemos expressar como:
onde é outro polinômio. Cada fator contribui com um grau 1 ao polinômio. Como temos três desses fatores, o grau de é pelo menos 3. Pode ser maior se o polinômio tiver grau maior que zero.

Resposta

As raízes de são 1, 2 e 3, e o grau de é pelo menos 3.

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