Diz-se que uma função
é limitada superiormente quando sua imagem
for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
Dê exemplos de funções
e
tais que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com o conceito de supremo de funções, que basicamente nos diz qual é o maior valor que a função pode atingir. No exercício, você precisa encontrar dois exemplos de funções
e
onde o supremo da soma delas é menor que a soma dos supremos individuais. Para isso, vamos precisar entender bem como calcular supremos e como somar funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o supremo de uma função. Dada uma função
, o supremo de
, denotado por
, é o menor número real que é maior ou igual a todos os valores que
pode assumir. Em outras palavras,
Isso significa que
é o menor limite superior para os valores de
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como somar duas funções,
. A soma
para todo
. O supremo dessa soma,
, é o menor número que é maior ou igual a todos os valores de
.
Passo 4
O que o exercício quer é que
. Isso acontece quando os pontos onde
e
alcançam seus supremos não são os mesmos pontos. Ou seja, o ponto onde
é máximo pode ser diferente do ponto onde
é máximo.
Passo 5
Vamos criar um exemplo simples. Suponha que
. Definimos as funções
e
da seguinte forma:
Passo 6
Vamos calcular os supremos de
e
:
A soma dos supremos é:
Passo 7
Agora, vamos calcular
para cada ponto de
:
Então,
Passo 8
Observe que:
Isso satisfaz a condição pedida no exercício.
Resposta
Um exemplo de funções que satisfazem
é dado por:
Nessas funções, temos
,
e
, assim:
Exercícios relacionados
Diz-se que uma função
é limitada superiormente quando sua imagem
for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
Prove que se
forem funções limitadas superiormente, então,
é limitada superiormente e que
.
Diz-se que uma função
é limitada superiormente quando sua imagem
for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
Dadas as funções
limitadas superiormente, prove que o produto
:
é uma função limitada superiormente e que
.
Resolva: