Diz-se que uma função é limitada superiormente quando sua imagem for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
Dê exemplos de funções e tais que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com o conceito de supremo de funções, que basicamente nos diz qual é o maior valor que a função pode atingir. No exercício, você precisa encontrar dois exemplos de funções e onde o supremo da soma delas é menor que a soma dos supremos individuais. Para isso, vamos precisar entender bem como calcular supremos e como somar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o supremo de uma função. Dada uma função , o supremo de , denotado por , é o menor número real que é maior ou igual a todos os valores que pode assumir. Em outras palavras,
Isso significa que é o menor limite superior para os valores de .

Passo 3

Agora, vamos pensar em como somar duas funções, . A soma para todo . O supremo dessa soma, , é o menor número que é maior ou igual a todos os valores de .

Passo 4

O que o exercício quer é que . Isso acontece quando os pontos onde e alcançam seus supremos não são os mesmos pontos. Ou seja, o ponto onde é máximo pode ser diferente do ponto onde é máximo.

Passo 5

Vamos criar um exemplo simples. Suponha que . Definimos as funções e da seguinte forma:

Passo 6

Vamos calcular os supremos de e :
A soma dos supremos é:

Passo 7

Agora, vamos calcular para cada ponto de :
Então,

Passo 8

Observe que:
Isso satisfaz a condição pedida no exercício.

Resposta

Um exemplo de funções que satisfazem é dado por:
Nessas funções, temos , e , assim:

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Diz-se que uma função é limitada superiormente quando sua imagem for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
Prove que se forem funções limitadas superiormente, então, é limitada superiormente e que .
Diz-se que uma função é limitada superiormente quando sua imagem for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
Dadas as funções limitadas superiormente, prove que o produto : é uma função limitada superiormente e que .
Resolva: