Use um CAS para estimar o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pela curva gira em torno do eixo indicado.
51.
eixo
51.
Passo 1
Beleza! Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de volumes de sólidos de rotação. A gente vai usar cálculo integral para descobrir o volume do sólido formado ao girar a região delimitada pelas curvas
,
,
e
em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos precisar entender o método dos discos ou anéis e fazer algumas integrações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os pontos onde as curvas se encontram, pois isso vai nos dar os limites de integração. Temos que resolver
no intervalo de
a
. Vamos usar um CAS, como o Wolfram Alpha ou uma calculadora gráfica, para encontrar essas interseções numericamente.
Passo 3
Após calcular, encontramos que as curvas se cruzam em
e
. Isso significa que nosso intervalo de integração vai de
a
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método dos discos. Esse método funciona bem quando a região é girada em torno do eixo
. A ideia é cortar o sólido em fatias fininhas perpendiculares ao eixo de rotação e somar os volumes desses discos.
A fórmula para o volume
usando o método dos discos é:
onde
é a função de cima e
a função de baixo.
Passo 5
Identificando as funções:
e
.
Então, nosso volume fica:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular essa integral. Como a integral envolve funções complicadas, vamos usar um CAS para encontrar uma estimativa numérica.
Usando um CAS, calculamos:
Calculando separadamente:
Então:
Mas como volume não pode ser negativo, pegamos o valor absoluto:
Resposta
O volume estimado do sólido de rotação é aproximadamente
unidades cúbicas.