Use um CAS para estimar o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pela curva gira em torno do eixo indicado.
51. y = sen^8(x), y = 2x / pi, x = 0, x = pi / 2 eixo x

Passo 1

Beleza! Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de volumes de sólidos de rotação. A gente vai usar cálculo integral para descobrir o volume do sólido formado ao girar a região delimitada pelas curvas , , e em torno do eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender o método dos discos ou anéis e fazer algumas integrações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os pontos onde as curvas se encontram, pois isso vai nos dar os limites de integração. Temos que resolver no intervalo de a . Vamos usar um CAS, como o Wolfram Alpha ou uma calculadora gráfica, para encontrar essas interseções numericamente.

Passo 3

Após calcular, encontramos que as curvas se cruzam em e . Isso significa que nosso intervalo de integração vai de a .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método dos discos. Esse método funciona bem quando a região é girada em torno do eixo . A ideia é cortar o sólido em fatias fininhas perpendiculares ao eixo de rotação e somar os volumes desses discos.
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
onde é a função de cima e a função de baixo.

Passo 5

Identificando as funções: e .
Então, nosso volume fica:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular essa integral. Como a integral envolve funções complicadas, vamos usar um CAS para encontrar uma estimativa numérica.
Usando um CAS, calculamos:
Calculando separadamente:
Então:
ú
Mas como volume não pode ser negativo, pegamos o valor absoluto:
ú

Resposta

O volume estimado do sólido de rotação é aproximadamente unidades cúbicas.

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