Dizemos que um anel comutativo A, é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se U(A) = A - {0} é o conjunto dos elementos de A que possuem inverso.
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
d) Z_8 é um corpo.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: " é um corpo." Aqui, estamos trabalhando com conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre corpos e anéis comutativos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um corpo e verificar se atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, lembremos que representa o conjunto dos restos da divisão por 8, ou seja, . Este conjunto, juntamente com as operações de adição e multiplicação módulo 8, forma um anel comutativo.

Passo 3

Para que seja um corpo, dois requisitos devem ser atendidos:
  1. Comutatividade da multiplicação: Já temos isso, já que estamos trabalhando em um anel comutativo.
  2. Existência de inversos multiplicativos para todos os elementos não nulos: Ou seja, todo elemento diferente de zero deve ter um inverso multiplicativo dentro de .

Passo 4

Vamos verificar se todos os elementos de , exceto o zero, possuem inverso multiplicativo:
  • 1: Tem inverso, que é ele mesmo (1 * 1 ≡ 1 mod 8).
  • 3: Tem inverso, que é 3 (3 * 3 ≡ 1 mod 8).
  • 5: Tem inverso, que é 5 (5 * 5 ≡ 1 mod 8).
  • 7: Tem inverso, que é 7 (7 * 7 ≡ 1 mod 8).
  • 2, 4, 6: Não possuem inverso multiplicativo em porque multiplicados por qualquer elemento de não resultam em 1 módulo 8.

Passo 5

Além disso, observamos que possui divisores de zero. Por exemplo, , mesmo que nenhum dos fatores seja zero. A existência de divisores de zero impede que o anel seja um corpo, pois um corpo não pode ter divisores de zero.

Resposta

Falso. não é um corpo porque nem todos os elementos não nulos possuem inverso multiplicativo e o anel possui divisores de zero.

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