Dizemos que um anel comutativo
, é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se
é o conjunto dos elementos de
que possuem inverso.
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
d)
é um corpo.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
d)
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "
é um corpo." Aqui, estamos trabalhando com conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre corpos e anéis comutativos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um corpo e verificar se
atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, lembremos que
representa o conjunto dos restos da divisão por 8, ou seja,
. Este conjunto, juntamente com as operações de adição e multiplicação módulo 8, forma um anel comutativo.
Passo 3
Para que
seja um corpo, dois requisitos devem ser atendidos:
- Comutatividade da multiplicação: Já temos isso, já que estamos trabalhando em um anel comutativo.
- Existência de inversos multiplicativos para todos os elementos não nulos: Ou seja, todo elemento diferente de zero deve ter um inverso multiplicativo dentro de
.
Passo 4
Vamos verificar se todos os elementos de
, exceto o zero, possuem inverso multiplicativo:
- 1: Tem inverso, que é ele mesmo (1 * 1 ≡ 1 mod 8).
- 3: Tem inverso, que é 3 (3 * 3 ≡ 1 mod 8).
- 5: Tem inverso, que é 5 (5 * 5 ≡ 1 mod 8).
- 7: Tem inverso, que é 7 (7 * 7 ≡ 1 mod 8).
- 2, 4, 6: Não possuem inverso multiplicativo em
porque multiplicados por qualquer elemento de não resultam em 1 módulo 8.
Passo 5
Além disso, observamos que
possui divisores de zero. Por exemplo,
, mesmo que nenhum dos fatores seja zero. A existência de divisores de zero impede que o anel seja um corpo, pois um corpo não pode ter divisores de zero.
Resposta
Falso.
não é um corpo porque nem todos os elementos não nulos possuem inverso multiplicativo e o anel possui divisores de zero.