O máximo e o mínimo de na região delimitada pelo triângulo de vertíces e são respectivamente:
(e) Nenhuma das alternativas acima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função dentro de uma região que é um triângulo com vértices em , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e análise de limites em regiões fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do triângulo. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são zero. Vamos calcular essas derivadas:
Igualando as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro do triângulo definido pelos vértices , e . Observando as coordenadas, vemos que está entre 0 e 1 para ambos e , e como na hipotenusa do triângulo, . Portanto, o ponto está exatamente na hipotenusa do triângulo.

Passo 4

Vamos calcular o valor da função nesse ponto crítico:
Então, .

Passo 5

Agora, precisamos verificar os valores da função nas bordas do triângulo para garantir que não há valores maiores ou menores lá. As bordas são:
  1. De a : aqui, .
  2. De a : aqui, ou .
  3. De a : aqui, .
Vamos analisar cada borda:
Borda 1:
Para encontrar o mínimo ou máximo, derivamos em relação a :
Igualando a zero:
Então, .
Borda 2:
Simplificando:
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Então, (já calculado anteriormente).
Borda 3:
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos comparar todos os valores encontrados:
  • No ponto crítico :
  • Na borda em :
  • Na borda em :
O menor valor encontrado é 2 e o maior valor é .

Resposta

O mínimo da função é e o máximo é .

Exercícios relacionados

Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(a) O ponto está na fronteira de .
Dizemos que um anel comutativo , é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se é o conjunto dos elementos de que possuem inverso.
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
d) é um corpo.
Sobre na região
(d) o mínimo de é menor que 1.