O máximo e o mínimo de
na região delimitada pelo triângulo de vertíces
e
são respectivamente:
(e) Nenhuma das alternativas acima.
(e) Nenhuma das alternativas acima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função
dentro de uma região que é um triângulo com vértices em
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e análise de limites em regiões fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do triângulo. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são zero. Vamos calcular essas derivadas:
Igualando as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto
está dentro do triângulo definido pelos vértices
,
e
. Observando as coordenadas, vemos que
está entre 0 e 1 para ambos
e
, e como
na hipotenusa do triângulo,
. Portanto, o ponto está exatamente na hipotenusa do triângulo.
Passo 4
Vamos calcular o valor da função nesse ponto crítico:
Então,
.
Passo 5
Agora, precisamos verificar os valores da função nas bordas do triângulo para garantir que não há valores maiores ou menores lá. As bordas são:
- De
a : aqui, . - De
a : aqui, ou . - De
a : aqui, .
Vamos analisar cada borda:
Borda 1:
Para encontrar o mínimo ou máximo, derivamos em relação a
:
Igualando a zero:
Então,
.
Borda 2:
Simplificando:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero:
Então,
(já calculado anteriormente).
Borda 3:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos comparar todos os valores encontrados:
- No ponto crítico
: - Na borda
em : - Na borda
em :
O menor valor encontrado é 2 e o maior valor é
.
Resposta
O mínimo da função é
e o máximo é
.
Exercícios relacionados
Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(a) O ponto está na fronteira de
.
(a) O ponto
Dizemos que um anel comutativo
, é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se é o conjunto dos elementos de
que possuem inverso.
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
d) é um corpo.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
d)
Sobre
na região
(d) o mínimo de é menor que 1.
(d) o mínimo de