Dizemos que duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem comutam se A B=B A. Seja A=[ll1 & 0 1 & 1]. Determine todas as matrizes B de ordem 2 tais que A B=B A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A questão fala sobre matrizes que comutam, ou seja, duas matrizes e comutam se . Aqui, temos uma matriz específica e precisamos encontrar todas as matrizes de ordem 2 que satisfazem essa condição. Para resolver isso, vamos lembrar como multiplicar matrizes e igualar os produtos e .

Passo 2

Primeiro, vamos definir a matriz B = a & b c & d que queremos encontrar. Como é uma matriz 2x2, podemos escrevê-la da seguinte forma:
onde e são números reais que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto A cdot B = 1 & 0 1 & 1 cdot a & b c & d = 1 cdot a + 0 cdot c & 1 cdot b + 0 cdot d 1 cdot a + 1 cdot c & 1 cdot b + 1 cdot d = a & b a + c & b + d . Multiplicando as matrizes e :

[
A \cdot B =
\cdot


]

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto B cdot A = a & b c & d cdot 1 & 0 1 & 1 = a cdot 1 + b cdot 1 & a cdot 0 + b cdot 1 c cdot 1 + d cdot 1 & c cdot 0 + d cdot 1 = a + b & b c + d & d :

[
B \cdot A =
\cdot


]

Passo 5

Para que a = a + b b = b a + c = c + d b + d = d e comutem, os produtos e devem ser iguais. Então, igualamos as respectivas posições das matrizes resultantes:

Passo 6

Vamos resolver cada equação:
  1. Primeira equação:
    Subtraindo de ambos os lados: . Portanto, .
  2. Segunda equação:
    Isso é sempre verdadeiro e não nos dá nova informação.
  3. Terceira equação:
    Subtraindo de ambos os lados: .
  4. Quarta equação:
    Como já sabemos que , isso confirma , que também é sempre verdadeiro.

Passo 7

Com as informações obtidas:
  • B = a & 0 c & a
Então, todas as matrizes que comutam com são da forma:
onde e são números reais qualquer.

Resposta

Todas as matrizes B = a & 0 c & a de ordem 2 que comutam com são da forma:
onde e são números reais quaisquer.

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