Dizemos que duas matrizes quadradas e de mesma ordem comutam se . Seja . Determine todas as matrizes de ordem 2 tais que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A questão fala sobre matrizes que comutam, ou seja, duas matrizes e comutam se . Aqui, temos uma matriz específica e precisamos encontrar todas as matrizes de ordem 2 que satisfazem essa condição. Para resolver isso, vamos lembrar como multiplicar matrizes e igualar os produtos e .
Passo 2
Primeiro, vamos definir a matriz que queremos encontrar. Como é uma matriz 2x2, podemos escrevê-la da seguinte forma:
onde e são números reais que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto . Multiplicando as matrizes e :
[
A \cdot B =
\cdot
]
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto :
[
B \cdot A =
\cdot
]
Passo 5
Para que e comutem, os produtos e devem ser iguais. Então, igualamos as respectivas posições das matrizes resultantes:
Passo 6
Vamos resolver cada equação:
Primeira equação:
Subtraindo de ambos os lados: . Portanto, .
Segunda equação:
Isso é sempre verdadeiro e não nos dá nova informação.
Terceira equação:
Subtraindo de ambos os lados: .
Quarta equação:
Como já sabemos que , isso confirma , que também é sempre verdadeiro.
Passo 7
Com as informações obtidas:
Então, todas as matrizes que comutam com são da forma:
onde e são números reais qualquer.
Resposta
Todas as matrizes de ordem 2 que comutam com são da forma: