Uma matriz quadrada A invertível é ortogonal se A^-1=A^T. Determine os reais x, y e z de modo que A=[ccc1 & 0 & 0 0 & 1raiz2 & 1raiz2 x & y & z] seja ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada A = 1 & 0 & 0 0 & 1raiz2 & 1raiz2 x & y & z que precisa ser ortogonal. Isso significa que a inversa de é igual à transposta dela, ou seja, . Nosso objetivo é encontrar os valores reais de , e para que a matriz
seja ortogonal. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades das matrizes ortogonais e como elas se relacionam com suas colunas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é ortogonal se as suas colunas forem vetores ortonormais. Isso quer dizer duas coisas: cada coluna tem comprimento 1 (ou seja, é um vetor unitário) e cada coluna é perpendicular às outras colunas (produto interno zero). Então, vamos verificar essas condições para as colunas da nossa matriz .

Passo 3

Vamos começar verificando o comprimento de cada coluna. A primeira coluna é 1 0 x . O comprimento desse vetor é dado por:
1^2 + 0^2 + x^2 = 1 + x^2
Como queremos que seja 1:
1 + x^2 = 1 implies x^2 = 0 implies x = 0
Então, já sabemos que .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda coluna: 0 1raiz2 y . O comprimento desse vetor é:
0^2 + (1raiz2)^2 + y^2 = 12 + y^2
Queremos que seja 1:
12 + y^2 = 1 implies y^2 = 12 implies y = pm 1raiz2
Então, pode ser ou .

Passo 5

Vamos verificar a terceira coluna: 0 1raiz2 z . O comprimento é:
0^2 + (1raiz2)^2 + z^2 = 12 + z^2
Queremos que seja 1:
12 + z^2 = 1 implies z^2 = 12 implies z = pm 1raiz2
Então, também pode ser ou .

Passo 6

Agora, precisamos garantir que as colunas sejam perpendiculares entre si. Vamos verificar o produto interno da segunda e terceira coluna:
0 cdot 0 + 1raiz2 cdot 1raiz2 + y cdot z = 12 + y z = 0
Então:
12 + y z = 0 implies y z = -12
Substituindo os valores possíveis de e :
  • Se , então
  • Se , então

Resposta

Os valores que fazem a matriz x = 0, y = 1raiz2, z = -1raiz2 ou y = -1raiz2, z = 1raiz2 ser ortogonal são:

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