Uma matriz quadrada invertível é ortogonal se . Determine os reais e de modo que seja ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada que precisa ser ortogonal. Isso significa que a inversa de é igual à transposta dela, ou seja, . Nosso objetivo é encontrar os valores reais de , e para que a matriz
seja ortogonal. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades das matrizes ortogonais e como elas se relacionam com suas colunas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é ortogonal se as suas colunas forem vetores ortonormais. Isso quer dizer duas coisas: cada coluna tem comprimento 1 (ou seja, é um vetor unitário) e cada coluna é perpendicular às outras colunas (produto interno zero). Então, vamos verificar essas condições para as colunas da nossa matriz .

Passo 3

Vamos começar verificando o comprimento de cada coluna. A primeira coluna é . O comprimento desse vetor é dado por:
Como queremos que seja 1:
Então, já sabemos que .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda coluna: . O comprimento desse vetor é:
Queremos que seja 1:
Então, pode ser ou .

Passo 5

Vamos verificar a terceira coluna: . O comprimento é:
Queremos que seja 1:
Então, também pode ser ou .

Passo 6

Agora, precisamos garantir que as colunas sejam perpendiculares entre si. Vamos verificar o produto interno da segunda e terceira coluna:
Então:
Substituindo os valores possíveis de e :
  • Se , então
  • Se , então

Resposta

Os valores que fazem a matriz ser ortogonal são:

Exercícios relacionados

Dizemos que duas matrizes quadradas e de mesma ordem comutam se . Seja . Determine todas as matrizes de ordem 2 tais que .
Resolva cada sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan.
a.
Resolva as seguintes equações matriciais:
(a)
(b) ;