Uma matriz quadrada invertível é ortogonal se . Determine os reais e de modo que seja ortogonal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada que precisa ser ortogonal. Isso significa que a inversa de é igual à transposta dela, ou seja, . Nosso objetivo é encontrar os valores reais de , e para que a matriz
seja ortogonal. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades das matrizes ortogonais e como elas se relacionam com suas colunas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é ortogonal se as suas colunas forem vetores ortonormais. Isso quer dizer duas coisas: cada coluna tem comprimento 1 (ou seja, é um vetor unitário) e cada coluna é perpendicular às outras colunas (produto interno zero). Então, vamos verificar essas condições para as colunas da nossa matriz .
Passo 3
Vamos começar verificando o comprimento de cada coluna. A primeira coluna é . O comprimento desse vetor é dado por:
Como queremos que seja 1:
Então, já sabemos que .
Passo 4
Agora, vamos para a segunda coluna: . O comprimento desse vetor é:
Queremos que seja 1:
Então, pode ser ou .
Passo 5
Vamos verificar a terceira coluna: . O comprimento é:
Queremos que seja 1:
Então, também pode ser ou .
Passo 6
Agora, precisamos garantir que as colunas sejam perpendiculares entre si. Vamos verificar o produto interno da segunda e terceira coluna: