Dizemos que é injetiva se dois elementos quaisquer distintos do domínio gerar duas imagens distintas, em símbolos: éPor outro lado, dizemos que uma função é sobrejetiva se o conjunto contra-domínio é igual ao conjunto imagem. E por fim, dizemos que é bijetiva se for injetiva e sobrejetiva.Assim sendo, mostre que a função afim é bijetiva.

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que uma função afim é bijetiva. Primeiro, vamos entender o que significa ser uma função afim. Basicamente, é uma função do tipo , onde e são números reais e . Para ser bijetiva, a função precisa ser tanto injetiva quanto sobrejetiva. Vamos ver cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Vamos começar verificando se a função afim é injetiva. Uma função é injetiva se, sempre que , então . Vamos provar isso:
Seja e suponha que . Então:
Subtraindo de ambos os lados:
Como , podemos dividir ambos os lados por :
Isso mostra que se , então necessariamente . Portanto, a função é injetiva.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função afim é sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se, para todo no conjunto chegada, existe pelo menos um no domínio tal que . Vamos provar isso:
Queremos resolver a equa��ão para :
Como , podemos sempre encontrar um para qualquer real. Assim, para todo , existe tal que . Portanto, a função é sobrejetiva.

Resposta

Como a função afim é injetiva e sobrejetiva, ela é bijetiva.

Exercícios relacionados

Resolva as inequações, em :
Sejam e definidas em . Para que valores de , tem-se:
Esboce o gráfico das funções:
Resolva os sistemas de equações e desenhe as retas associadas às equações em cada caso: