Dizemos que
é injetiva se dois elementos quaisquer distintos do domínio gerar duas imagens distintas, em símbolos:
Por outro lado, dizemos que uma função
é sobrejetiva se o conjunto contra-domínio é igual ao conjunto imagem. E por fim, dizemos que
é bijetiva se for injetiva e sobrejetiva.Assim sendo, mostre que a função afim é bijetiva.
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que uma função afim é bijetiva. Primeiro, vamos entender o que significa ser uma função afim. Basicamente, é uma função do tipo
, onde
e
são números reais e
. Para ser bijetiva, a função precisa ser tanto injetiva quanto sobrejetiva. Vamos ver cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Vamos começar verificando se a função afim é injetiva. Uma função é injetiva se, sempre que
, então
. Vamos provar isso:
Seja
e suponha que
. Então:
Subtraindo
de ambos os lados:
Como
, podemos dividir ambos os lados por
:
Isso mostra que se
, então necessariamente
. Portanto, a função é injetiva.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função afim é sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se, para todo
no conjunto chegada, existe pelo menos um
no domínio tal que
. Vamos provar isso:
Queremos resolver a equa��ão
para
:
Como
, podemos sempre encontrar um
para qualquer
real. Assim, para todo
, existe
tal que
. Portanto, a função é sobrejetiva.
Resposta
Como a função afim
é injetiva e sobrejetiva, ela é bijetiva.
Exercícios relacionados
Resolva as inequações, em
:
Sejam
e
definidas em
. Para que valores de
, tem-se:
Esboce o gráfico das funções:
Resolva os sistemas de equações e desenhe as retas associadas às equações em cada caso: