Dizemos que f: R -> R é injetiva se dois elementos quaisquer distintos do domínio gerar duas imagens distintas, em símbolos: f é injetiva ⇔ x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) ; x1, x2 ∈ DféPor outro lado, dizemos que uma função f é sobrejetiva se o conjunto contra-domínio é igual ao conjunto imagem. E por fim, dizemos que f é bijetiva se for injetiva e sobrejetiva.Assim sendo, mostre que a função afim é bijetiva.

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que uma função afim é bijetiva. Primeiro, vamos entender o que significa ser uma função afim. Basicamente, é uma função do tipo , onde e são números reais e . Para ser bijetiva, a função precisa ser tanto injetiva quanto sobrejetiva. Vamos ver cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Vamos começar verificando se a função afim é injetiva. Uma função é injetiva se, sempre que , então . Vamos provar isso:
Seja e suponha que . Então:
Subtraindo de ambos os lados:
Como , podemos dividir ambos os lados por :
Isso mostra que se , então necessariamente . Portanto, a função é injetiva.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função afim é sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se, para todo no conjunto chegada, existe pelo menos um no domínio tal que . Vamos provar isso:
Queremos resolver a equa��ão para :
Como , podemos sempre encontrar um para qualquer real. Assim, para todo , existe tal que . Portanto, a função é sobrejetiva.

Resposta

Como a função afim é injetiva e sobrejetiva, ela é bijetiva.

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